This talk will be split into two independant parts. The first one will be devoted to some results I got during my PhD, and second to part of those obtained during my first postdoc.

I) The computation of the encounter time of particles is a key question in many contexts, as this time quantifies the reactivity rate for diffusion-limited processes. In the case of markovian random walks, such as brownian motion, some analytic results can be obtained. But in the case of non-markovian processes, very few results do exist, although "non-markov is the rule and markov is the exception" (Van Kampen). In this talk I will present a formalism we have developed to deal with non-markovian random walks and show its application to Fractional Brownian Motion, a paradigmatic example of highly-correlated process. If time allows, I will briefly present how aging of the dynamics can deeply modify the encounter time statistics.

II) In the second part of my talk, I will briefly present results I got during my first postdoc. I will show how chaotic motion can arise in an extended active gel layer, typically describing cortical cytoskeleton, where polymerization and contraction due to molecular motors are combined. This result questions the usual description of the cortex as a thin layer, as such a description cannot describe this instability. I will also briefly present recent experimental evidences of this predicted phenomenon.

Je présenterai des résultats récemment obtenus en collaboration avec S. Andréys et A. Joye. Pour commencer, je motiverai d’une part l’étude de la production d’entropie, puis de l’autre le type de modèle qui nous a intéressé. Une fois le cadre bien établi, je discuterai de notre approche et de nos résultats sur la production d’entropie et les courants (formule de type Landauer–Büttiker).

Pour étudier des systèmes dynamiques de haute dimension, les physiciens travaillent souvent avec des données observationnelles qui ne constituent pas des trajectoires réelles du système étudié, mais qui peuvent plutôt être vues comme des projections du système dans un espace où des mesures peuvent être effectuées. Pour modéliser cela, nous prendrons comme observable une fonction lisse de l’espace de phase dans l’espace des observations.

En utilisant la Théorie des Valeurs Extrêmes, nous étudions les propriétés statistiques de différentes quantités d’intérêt associées à cette observable (temps de récurrence, nombre de visites dans de petites régions de l’espace d’observation, temps de première synchronisation). Les distributions limites que nous obtenons sont des lois de Gumbel ayant pour paramètre des dimensions fractales caractéristiques de la mesure image (dimensions locales et dimensions généralisées). En choisissant bien l’observable, on montre qu’on peut utiliser ces résultats pour accéder aux propriétés géométriques de la mesure invariante du système sous-jacent. Différentes applications de cette théorie seront présentées.

Bien qu’il soit aisé de penser que les gaz de Lorentz aléatoires sont plus faciles à analyser que leurs 
équivalents périodiques et déterministes, il n’en est rien, au vu du peu de résultats disponibles dans la 
littérature au sujet du cas non-périodique.
Lors de cet exposé, je présenterai quelques idées générales visant à une meilleure compréhension des propriétés 
statistiques des gaz de Lorentz aléatoires. En particulier, je discuterai des propriétés ergodiques d’une classe 
de processus aléatoires en environnement aléatoire présentant une perte de mémoire exponentielle, et je montrerai 
pourquoi ces processus sont pertinents pour l’étude de certaines marches déterministes en environnement aléatoires 
dont les dynamiques locales sont données par des transformations uniformément dilatantes du cercle.
C’est un travail en commun avec Carlangelo Liverani.