Centre de Physique Théorique

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Jeudi 12 décembre 2019

10h00 – 12h00, Amphi 5

Soutenance de These de Lorenzo Valvo : Hamiltonian Perturbation Theory on a Poisson Algebra. Application to a Throbbing Top and to Magnetically Confined Particles

Lorenzo Valvo

The Hamiltonian formulation of classical mechanics reveals
an underlying Lie algebraic structure which is a key element
for developing an efficient perturbation theory. But Lie
structures are met in a wider class of dynamical systems,
called Poisson systems ; some examples are, among others,
fluid dynamics, electrodynamics, kinetic theory. In the
first part of this thesis, we propose a purely algebraic
approach to classical perturbation theory to extend its
scope to any Poisson system. In this method, introduced in
[Vittot, 2004], a (Lie) transform allows to split the
perturbation into a term preserving the unperturbed flow,
and a smaller correction, quadratic in the original
perturbation strength.

The second part of the dissertation is about the dynamics of
a Throbbing Top (a non-autonomous Rigid Body). Being
probably the most basic example of Poisson system, the Top
was a natural choice for an application of our theory. We
consider first a symmetric Top with periodically dependent
momenta of inertia ; by introducing a suitable set of
coordinates, the system is reduced to a nearly classical
description ; indeed we show that our theorem applies and
reproduce the KAM theorem of classical mechanics. Then we
switch to a non symmetric Top with non-periodically
fluctuating momenta of inertia : in this case we study for
which conditions the static trajectories give a good
approximation to those of the non-autonomous system.

In the third part of this work we study the dynamics of a
magnetically confined particle. In this case the unperturbed
flow is the dynamics in an arbitrary given electromagnetic
field ; then by perturbation theory one may reduce the
dimensionality of the dynamics, or study the retroaction of
the particle on the field. However, providing an efficient
description of the unperturbed flow is a formidable task,
related to the long-standing issue of Guiding Centre Theory
in plasma physics. Recently a novel relativistic and
non-perturbative approach to Guiding Centre theory has been
proposed [Di Troia, 2018]. We derive the equations of motion
and their Poisson structure in this description.

La formulation hamiltonienne de la mécanique classique
révèle une structure algébrique de Lie sous-jacente qui est
un élément clé pour développer une théorie de perturbation
efficace. Mais on trouve des structures de Lie dans une classe
plus grande de systèmes dynamiques, appelé systèmes de
Poisson ; certains exemples sont, entre autres, la dynamique des
fluides, l’électrodynamique, la théorie cinétique. Dans la
première partie de cette thèse, on propose une approche
purement algébrique à la théorie classique des
perturbations, qui s’applique donc à tout les système de
Poisson. Dans cette méthode, introduite dans [Vittot, 2004],
une transformation (de Lie) permet de diviser la
perturbation en un terme préservant le flot non perturbé, et
une correction plus petite, quadratique par rapport à la
perturbation originale.

Dans la deuxième partie de la thèse on considere la
dynamique d’une Toupie Pulsante (un corps rigide non
autonome). S’agissant probablement de l’exemple le plus
basique de système de Poisson, la Toupie était un choix
naturel pour une application de notre théorie. Nous
considérons d’abord une toupie symétrique àvec des moments
d’inertie qui oscille periodiquement ; en introduisant des
coordonnées appropriées, le système est réduit à un
systeme presque classique ; en effet, on montre que notre théorème
s’applique et reproduit le théorème de KAM de la mécanique
classique. Puis on considere une Toupie non
symétrique avec moments d’inertie qui presentent des
fluctuations quelconques : dans ce cas, on etudie sous
quelles conditions les trajectoires du systeme sont proches
de celle du système statique.

Dans la troisième partie de ce mémoire, on étudie la
dynamique d’une particule confinée magnétiquement. Dans ce
cas le flot non perturbé est la dynamique dans un champ
électromagnétique donné arbitraire ; alors par la théorie des
perturbations on peut réduire la dimensionnalité de la
dynamique, ou étudier la rétroaction de la particule sur le
champ. Cependant, fournir une description du flot
non perturbé est une tâche redoutable, liée à la question
de longue date de la théorie du centre-guide en physique des
plasmas. Récemment une version relativiste et non
perturbative de la théorie des centres guides a été proposée
[Di Troia, 2018]. Nous dérivons les équations du mouvement
et leur structure de Poisson dans cette description.

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