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Soutenances de thèses & HDR

Les Soutenances de thèses & HDR à venir

  • Jeudi 12 décembre

    De 10h00 à 12h00

    Soutenance de These de Lorenzo Valvo : Hamiltonian Perturbation Theory on a Poisson Algebra. Application to a Throbbing Top and to Magnetically Confined Particles

    Lorenzo Valvo

    Amphi 5
    CPT Marseille Luminy

    The Hamiltonian formulation of classical mechanics reveals
    an underlying Lie algebraic structure which is a key element
    for developing an efficient perturbation theory. But Lie
    structures are met in a wider class of dynamical systems,
    called Poisson systems ; some examples are, among others,
    fluid dynamics, electrodynamics, kinetic theory. In the
    first part of this thesis, we propose a purely algebraic
    approach to classical perturbation theory to extend its
    scope to any Poisson system. In this method, introduced in
    [Vittot, 2004], a (Lie) transform allows to split the
    perturbation into a term preserving the unperturbed flow,
    and a smaller correction, quadratic in the original
    perturbation strength.

    The second part of the dissertation is about the dynamics of
    a Throbbing Top (a non-autonomous Rigid Body). Being
    probably the most basic example of Poisson system, the Top
    was a natural choice for an application of our theory. We
    consider first a symmetric Top with periodically dependent
    momenta of inertia ; by introducing a suitable set of
    coordinates, the system is reduced to a nearly classical
    description ; indeed we show that our theorem applies and
    reproduce the KAM theorem of classical mechanics. Then we
    switch to a non symmetric Top with non-periodically
    fluctuating momenta of inertia : in this case we study for
    which conditions the static trajectories give a good
    approximation to those of the non-autonomous system.

    In the third part of this work we study the dynamics of a
    magnetically confined particle. In this case the unperturbed
    flow is the dynamics in an arbitrary given electromagnetic
    field ; then by perturbation theory one may reduce the
    dimensionality of the dynamics, or study the retroaction of
    the particle on the field. However, providing an efficient
    description of the unperturbed flow is a formidable task,
    related to the long-standing issue of Guiding Centre Theory
    in plasma physics. Recently a novel relativistic and
    non-perturbative approach to Guiding Centre theory has been
    proposed [Di Troia, 2018]. We derive the equations of motion
    and their Poisson structure in this description.

    La formulation hamiltonienne de la mécanique classique
    révèle une structure algébrique de Lie sous-jacente qui est
    un élément clé pour développer une théorie de perturbation
    efficace. Mais on trouve des structures de Lie dans une classe
    plus grande de systèmes dynamiques, appelé systèmes de
    Poisson ; certains exemples sont, entre autres, la dynamique des
    fluides, l’électrodynamique, la théorie cinétique. Dans la
    première partie de cette thèse, on propose une approche
    purement algébrique à la théorie classique des
    perturbations, qui s’applique donc à tout les système de
    Poisson. Dans cette méthode, introduite dans [Vittot, 2004],
    une transformation (de Lie) permet de diviser la
    perturbation en un terme préservant le flot non perturbé, et
    une correction plus petite, quadratique par rapport à la
    perturbation originale.

    Dans la deuxième partie de la thèse on considere la
    dynamique d’une Toupie Pulsante (un corps rigide non
    autonome). S’agissant probablement de l’exemple le plus
    basique de système de Poisson, la Toupie était un choix
    naturel pour une application de notre théorie. Nous
    considérons d’abord une toupie symétrique àvec des moments
    d’inertie qui oscille periodiquement ; en introduisant des
    coordonnées appropriées, le système est réduit à un
    systeme presque classique ; en effet, on montre que notre théorème
    s’applique et reproduit le théorème de KAM de la mécanique
    classique. Puis on considere une Toupie non
    symétrique avec moments d’inertie qui presentent des
    fluctuations quelconques : dans ce cas, on etudie sous
    quelles conditions les trajectoires du systeme sont proches
    de celle du système statique.

    Dans la troisième partie de ce mémoire, on étudie la
    dynamique d’une particule confinée magnétiquement. Dans ce
    cas le flot non perturbé est la dynamique dans un champ
    électromagnétique donné arbitraire ; alors par la théorie des
    perturbations on peut réduire la dimensionnalité de la
    dynamique, ou étudier la rétroaction de la particule sur le
    champ. Cependant, fournir une description du flot
    non perturbé est une tâche redoutable, liée à la question
    de longue date de la théorie du centre-guide en physique des
    plasmas. Récemment une version relativiste et non
    perturbative de la théorie des centres guides a été proposée
    [Di Troia, 2018]. Nous dérivons les équations du mouvement
    et leur structure de Poisson dans cette description.

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