Contents

• References
• Variétés différentiables
  • Variétés topologiques
    • Définition
    • Variétés à bord
    • Contre-exemples
  • Variétés différentiables
    • Variétés, cartes, atlas
    • Atlas maximal
    • Variétés et calcul différentiel ``intrinsèque''
  • Applications différentiables, difféomorphismes
    • Définition
    • Difféomorphismes et changements de coordonnées
    • Fonctions différentiables
  • Champs de vecteurs
    • Notions élémentaires et intuitives
    • Vecteurs, espace tangent et champs de vecteurs
    • Règle de Leibniz
    • Crochet de deux champs de vecteurs
    • Repère naturel associé à une carte
    • Changement de carte
    • Repères mobiles (repères quelconques)
  • Tenseurs et formes extérieures sur les espaces vectoriels
    • Algèbre tensorielle d'un espace vectoriel
    • Algèbre extérieure d'un espace vectoriel. Produit extérieur
    • Produit intérieur d'une forme par un vecteur
    • Transformation du produit extérieur et du produit intérieur par endomorphismes
  • Formes différentielles
    • Définition
    • La différentielle extérieure d
    • L'équation de Maurer-Cartan pour un repère mobile
    • Produit intérieur d'une forme par un champ ou vecteurs
  • Application tangente et cotangente
  • Dérivées de Lie
  • Orientation - Elément de volume - Déterminant - Intégration
    • Orientation - Partition de l'unité
  • Divers
    • Compléments sur les dérivations d'algèbre
    • Cohomologie de De Rham
    • Homologie de De Rham
    • Espace des p-vecteurs
    • Espace des courants de De Rham
    • Les algèbres de Richardson - Frolicher - Nijenhuis
  • Variétés riemaniennes (propriétés élémentaires)
• Groupes de Lie et espaces homogènes
  • Généralités sur les groupes de Lie
    • Généralités et définitions élémentaires
    • Exemples élémentaires de groupes classiques
  • Généralités sur les algèbres de Lie
    • Application exponentielle et algèbres de Lie
      • Définition
      • Exemple fondamental
      • Constantes de structure d'une algèbre de Lie
      • Application exponentielle dans
      • Cas des groupes de matrices: Correspondance entre groupes et algèbres de Lie
    • Correspondance entre groupes et algèbres de Lie
      • Algèbres de Lie des groupes classiques
      • Isomorphisme local: comparaison entre SU(2) et SO(3)
    • Classification des groupes et algèbres de Lie. Généralités.
      • Un peu de terminologie
      • Idées fondamentales de la classification
      • Remarques diverses
    • Message
  • Actions de groupes et représentations
    • Généralités
    • Groupe G opérant à gauche sur un ensemble E
    • Action à droite (anti-action)
    • Passage de la droite à la gauche (et inversement)
    • Orbites, espace quotient
    • Efficacité
    • Liberté et stabilisateur
    • Transitivité
    • Action d'un sous-groupe H sur un groupe G, normalisateur, centralisateur
    • Stratification
    • Remarques
  • Champs de vecteurs fondamentaux
    • Cas d'un groupe de Lie agissant sur une variété
    • Exemple : le groupe euclidien agissant sur le plan
    • Un cas particulier fondamental : le groupe G agissant sur lui-même par translations à gauche et à droite
    • L'action adjointe de G
    • Exemple : l'algèbre de Lie du groupe euclidien
    • Exemple : champs invariants sur SU(2)
    • Une remarque sur les constantes de structure
    • La forme de Maurer-Cartan
  • Action d'un groupe sur un espace vectoriel : la théorie des représentations
  • Espaces homogènes
  • Algèbres de Clifford et groupes Spin
    • Définitions générales
    • Le groupe Spin
    • Structure des algèbres de Clifford réelles
      • Cas n=p+q pair
      • Cas n=p+q impair
      • Structure des algèbres de Clifford réelles et périodicité modulo 8
    • La structure des algèbres de Clifford complexes
    • Type des représentations
    • Spineurs
• Espaces Fibrés
  • Généralités
    • Le langage des fibrés
    • Fibrations. Fibrés différentiables localement triviaux
      • Fibration
      • Fibré localement trivial
      • Remarques
      • Fibré trivial
      • Trivialisations locales
      • Sous-fibrés
  • Espaces fibrés principaux
    • La structure d'espace fibré principal
    • Sections locales et trivialisations locales
    • Exemple fondamental : le fibré des repères linéaires
    • Sous-espace des vecteurs verticaux en un point z d'un espace fibré
    • Fibré principal trivial
    • Formes basiques, invariantes et horizontales
    • Exemples
      • Le fibré des repères linéaires
      • Fibration d'un groupe G en sous groupes H au dessus de G/H
      • Fibration d'un espace homogène en groupes au dessus de
      • Fibration principale de G/H en groupes au dessus de G/N, N étant le normalisateur de H dans G
      • Fibrations exceptionnelles des sphères et des espaces projectifs
  • Fibrés associés
    • Introduction
    • Espaces fibrés associés généraux
    • Espaces fibrés en espaces homogènes, associés à un fibré principal de groupe structural G
    • Fibration principale relative à un fibré quotient
    • Espaces fibrés en espaces fibrés
    • Le fibré adjoint
    • Le rôle du normalisateur
    • Les espaces fibrés vectoriels
    • Trivialité des fibrés vectoriels, variétés parallèlisables
    • Sections de fibrés associés et champs
  • Changement de groupe structural dans les fibrés principaux : élargissement et réduction
    • Définitions
    • Elargissement (passage de H à G avec )
    • Réduction (passage de G à H avec )
  • Changement de groupe structural dans les fibrés principaux : extension et quotient
    • Extension (passage de G à avec )
    • Quotient (passage de G à K avec , H sous-groupe distingué de G)
  • Groupe des automorphismes. Groupe de jauge
    • Remarque terminologique
    • Automorphismes verticaux d'un espace fibré principal (définition)
    • Ecriture locale des transformations de jauge
    • Deux autres définitions des transformations de jauge
    • Automorphismes quelconques d'un espace fibré principal
    • Action des automorphismes sur les espaces fibrés associés
    • Le cas des espaces vectoriels (un cas trivial mais instructif!)
• Connexions
  • Connexions dans un fibré principal
    • Motivations
    • Distributions horizontales équivariantes
    • Relèvement horizontal
    • Forme de connexion
    • Ecriture locale de la forme de connexion: le potentiel de jauge
  • Connexions dans les fibrés vectoriels associés
    • Matrice de connexion , coefficients de connexion
    • Différentielle covariante des sections , dérivée covariante , parallélisme
    • Remarques concernant les notations
      • Mise en garde concernant la notation
      • Remarque sur les produits tensoriels
    • Loi de transformation des coefficients de connexion
    • Dérivation covariante des sections du fibré dual
    • Dérivation covariante dans les puissances tensorielles d'un fibré vectoriel
    • L'opérateur D
    • Différentielle extérieure covariante
      • Définition
      • Les opérateurs D et
      • Autre exemple
    • Différentielles et dérivées covariantes généralisées
      • Remarques
      • Exemple
      • Comparaison entre et
  • Courbure
    • Linéarité de
    • Expression de l'opérateur de courbure dans les fibrés vectoriels associes
    • Equation de structure pour la courbure
    • Identité de Bianchi pour la courbure
    • Transformation de jauge pour la courbure
    • Forme de connexion, différentielle covariante et courbure dans les fibrés principaux (compléments)
      • Remarque générale
      • Forme de connexion
      • Différentielle covariante
      • L'opérateur de courbure dans les fibrés principaux
        • Aspect global
        • Aspect local
      • Passage aux fibrés associés
        • Aspect global
        • Aspect local
        • L'opérateur
      • Mise en garde concernant l'utilisation de la notation D
    • Ecritures diverses de la courbure F (récapitulatif)
    • Connexions et opérations de Cartan
    • Groupe d'holonomie d'une connexion, fibré d'holonomie
    • Réduction des connexions
  • Cas particulier des connexions linéaires
    • Définition et généralités
    • Potentiel de jauge et courbure des connexions linéaires
    • Différentielle extérieure covariante (cas des connexions linéaires)
    • Forme canonique (ou forme de soudure)
    • Torsion
    • Equation de structure pour la torsion
    • Identités de Bianchi pour les connexions linéaires
      • Première identité (relative à la torsion)
      • Deuxième identité (relative à la courbure)
    • Dérivées covariantes secondes, hessien et identités de Ricci
    • Tenseur de Ricci
    • Courbes autoparallèles
    • Connexions linéaires sur les groupes et espaces homogènes
  • Connexions métriques
    • La métrique
    • Compatibilité avec la métrique
    • Calcul des coefficients de connexion
    • Compléments sur le tenseur de Riemann. Propriétés de symétrie.
    • Equation des géodésiques
    • Tenseur de Ricci, courbure scalaire et tenseur d'Einstein, courbures sectionelles
    • Dualité de Hodge et laplaciens
      • Appariement entre et
      • L'isomorphisme : La dualité de Hodge
      • Le produit <<,>> dans l'espace des k-formes
      • La codifférentielle sur les formes
      • La divergence div sur les tenseurs quelconques
      • Le laplacien de De Rham sur les formes
      • Hessiens et Laplaciens naïfs
      • Equations de Maxwell et équations de Yang-Mills
    • Connexions spinorielles et opérateur de Dirac
      • Complément sur l'algèbre de Lie du groupe Spin
      • Connexion spinorielle
      • Dérivée covariante sur les champs de spineurs
      • L'opérateur de Dirac
      • Le fibré de Clifford
    • Métriques sur les groupes et espaces homogènes
• Un saut dans l'infini
  • Action du groupe de jauge sur l'espace des connexions
  • L'espace des orbites
  • Conclusion
• Calcul différentiel pour algèbres non commutatives
  • Remarques philosophico-mathématiques sur les espaces non commutatifs
  • Calculs différentiels
    • Remarques
    • L'algèbre différentielle des formes universelles
      • Universalité
      • Construction de par générateurs et relations
      • Construction explicite de par produit tensoriel
      • Formes universelles dans le cadre commutatif : le calcul différentiel non local
      • L'exemple de
    • L'algèbre différentielle
      • Rappel sur les dérivations d'algèbre
      • Formes différentielles
      • Distinction entre et
      • Exemples
    • Algèbres différentielles pour espaces non connexes
    • L'algèbre différentielle
  • Excursion au pays des mathématiques non commutatives
    • Remarques et présentation générale
    • Topologie non commutative et théorie de la mesure non commutative
    • Calcul différentiel non commutatif
    • Espaces fibrés non commutatifs et modules projectifs
    • Connections généralisées en geometrie non commutative
    • Cohomologie des espaces non commutatifs
      • La cohomologie de Hochschild
      • La cohomologie cyclique : une cohomologie de De Rham non commutative
    • Remarque finale
• Index
• About this document ...