Sous-espace des vecteurs verticaux en un point z d'un espace fibré

• Soit P un espace fibré principal et z un élément de P. P est, en particulier, une variété, et toutes les constructions étudiées dans le contexte des variétés différentiables peuvent être effectuées et on peut donc considérer l'espace tangent à P en z que l'on notera T(P,z). Cet espace vectoriel est évidemment de dimension m+n lorsque et , M et G désignant respectivement la base et la fibre type de P.
• Plutôt que de considérer l'espace tangent à tout l'espace P en z, nous pouvons considérer l'espace tangent à la fibre de P qui passe par z (c'est à dire ); cet espace vectoriel est naturellement un sous-espace vectoriel de T(P,z). Sa dimension est égale à n puisque toutes les fibres ont dimension n. Le sous-espace s'appelle espace tangent vertical   au point z.
• Intuitivement, un vecteur est un petit déplacement (une flèche !). Un vecteur de l'espace tangent T(P,z) est donc un déplacement infinitésimal d'un ``repère'' (nous pensons intuitivement à z comme étant une sorte de repère généralisé). Un déplacement infinitésimal dans l'ensemble des repères peut s'analyser à l'aide de deux mouvements très différents: on peut faire tourner le repère (sans bouger l'origine) mais on peut également déplacer l'origine du repère. Les déplacements verticaux du point z correspondent à des mouvements de z dans sa fibre: on ne déplace pas le point de base  ; ainsi, les vecteurs de (les vecteurs verticaux en z) correspondent à des déplacements infinitésimaux du repère z qui n'entraînent aucun déplacement de l'origine x : on se contente de ``faire tourner'' infinitésimalement (à l'aide d'une ``petite transformation'' du groupe G) le repère z en x.
• Le lecteur pourra s'étonner de ne trouver, dans ce chapitre, aucun paragraphe intitulé ``sous-espace horizontal''   ; il y a, à cela, une excellente raison : alors que la notion de sous-espace vertical peut se définir canoniquement, comme on vient de le voir, pour tout fibré principal, il n'est par contre pas possible de définir canoniquement, tout au moins en général, la notion de déplacement horizontal ; une telle notion est tributaire d'un choix. L'étude des choix possibles --pour un fibré principal donné-- définit, en quelque sorte, la théorie des connexions et fait l'objet du chapitre suivant.
• Le groupe G agissant (à droite) sur l'espace P, on peut définir, comme d'habitude (voir le chapitre sur les groupes) des champs fondamentaux associés aux éléments de l'algèbre Lie(G). Par construction, est un vecteur vertical au point z et l'ensemble constitue une base de l'espace vectoriel .

  Si z'=zg désigne le repère issus de z par une ``rotation'' finie g, on pourra écrire et interpréter comme une déplacement infinitésimal du ``repère'' z à l'aide de la ``rotation infinitésimale'' .

  Pour ne pas alourdir le texte, nous supprimerons les guillemets autour des mots ``repère'' et ``rotation'' dans la suite du texte, mais le lecteur devra se souvenir que ces mots désignent respectivement les éléments du fibré principal considéré (qui ne sont pas nécessairement des repères au sens usuel du terme) et les éléments du groupe structural (qui n'est pas nécessairement un groupe de rotations).

• Les champs sont des champs fondamentaux à droite puisque P est --comme d'habitude-- un fibré principal muni d'une action à droite. A moins que P ne soit trivial (voir section suivante) il n'existe pas d'action de G à gauche de P, en tous cas, pas d'action qui soit canoniquement définie. Par contre, on peut toujours trivialiser P localement en choisissant une section (locale)  ; on a vu qu'une telle section permettait d'identifier la fibre avec G lui-même en associant au point l'élément de G défini par l'équation . On a alors non seulement une action de G à droite mais également une action de G à gauche définie par Cette action dépend de la section et permet de définir localement des champs fondamentaux à gauche ; ces champs dépendent donc également du choix de la section et, si la chose est nécessaire, on pourra les noter .
• Pour résumer, on pourra dire que la fibre au dessus de x apparaît comme une copie du groupe G, le choix d'une section locale permet de marquer l'origine (l'identité du groupe) sur la fibre . On peut ainsi identifier G avec et l'algèbre de Lie de G avec l'espace vertical au point . Le groupe G agit sur lui-même par multiplications à gauche et à droite, il agit canoniquement sur , du côté droit, puisqu'on a affaire à un fibré principal, mais on peut aussi le faire agir à gauche dès qu'on a identifié G avec , c'est à dire dès qu'on a choisi une section . Le choix de permettant d'identifier G avec permet donc également de définir une forme de Maurer-Cartan pour la fibre . Cette forme ``ramène'' donc à l'origine les vecteurs verticaux appartenant à .