Une variété topologique est tout d'abord un espace
topologique, mais on suppose, de surcroît, que chacun de
ses points possède un voisinage homéomorphe à un ouvert
de 
. On dit alors que cet espace est une variété
topologique de dimension n.
Intuitivement, une variété topologique de dimension 2 est un espace qui, localement, c'est à dire si on ne regarde pas trop loin, ressemble à un petit morceau de feuille de papier qu'on aurait pu découper avec des ciseaux après en avoir tracé le pourtour au crayon (on peut d'ailleurs froisser le bout de papier en question). La structure globale de cet espace peut être évidemment assez différente puisque la variété elle-même est obtenue par recollement de tous ces petits morceaux de papier. Ainsi, un pneu de bicyclette, éventuellement dégonflé, plié et ``froissé'' fournit un exemple d'objet physique qu'on peut modéliser à l'aide d'une variété topologique de dimension 2: un tore.