Les variétés dont il vient d'être question n'ont pas de bord (au sens intuitif du terme). En effet, si nous nous transformons en êtres plats, rampant sur la surface d'un ballon - ou d'un pneu - nous ne sommes jamais arrêtés par une quelconque barrière. Cela ne serait pas le cas si nous nous déplacions sur la surface d'un quartier d'orange ou d'un pneu crevé (nous nous arrêterions au bord du trou!). Sans se transformer en êtres plats, cela ne serait pas le cas non plus si nous nous déplacions à l'intérieur d'une boule fermée. De façon générale, il est possible de fabriquer des ``variétés à bord'' en effectuant un ou plusieurs trous dans une variété sans bord (à l'aide d'une petite cuillère multi-dimensionelle!); la partie enlevée, comme la partie qui reste, devient une variété à topologique à bord.
Pour préciser cette notion, il nous faut élargir la
définition de variété que nous avons donné plus
haut puisque certains des points (ceux du bord) ont un
voisinage non pas homéomorphe à un ouvert de 
mais à\
un voisinage de 
(le fermé de formé des points dont
la dernière composante est positive ou nulle).
Attention: si nous nous promenons dans une boule
ouverte, nous ne pourrons jamais atteindre aucun bord... par
définition d'une boule ouverte! Une boule ouverte est une
variété sans bord de dimension 3 qui est d'ailleurs
homéomorphe à 
. Par contre, une boule fermée est une
variété à bord de dimension 3, les points du bords sont
ceux de la sphère (une variété de dimension 2) et ils
possèdent - dans la boule fermée - des voisinages
particuliers. Le disque ouvert (la
boule de dimension 2) est aussi une variété sans bord
et le disque fermé est une variété à bord (son bord est
constitué d'un cercle qu'on peut appeler également
``sphère de dimension 1''. Dans le même genre, un
intervalle ouvert est une variété sans bord (la boule de
dimension 1) et un intervalle fermé est une variété à
bord (son bord est constitué de deux points dont la
réunion constitue ce qu'on peut appeler la sphère de
dimension 0. Les exemples qui précèdent sont
généralisables en toutes dimensions.
Terminologie: Si on ne précise pas davantage, une variété topologique est censée être une variété sans bord.