Revenons un peu sur la notion de trivialité déjà étudiée, dans le
cas des fibrés principaux, en section 3.2.5. On se souvient qu'une
condition nécessaire et suffisante, pour assurer la trivialité d'un fibré principal P,
est l'existence
d'une section globale. Contrairement au cas des fibrés
principaux, l'existence, pour un fibré vectoriel, de sections
globales, est une propriété évidente : tout fibré vectoriel,
trivial ou non, possède des sections globales, par exemple la
section nulle. Ce n'est donc pas ainsi qu'on détecte la
trivialité. Par contre, nous avons vu que, d'une certaine
façon, on pouvait considérer
un élément du fibré principal P comme une base dans une certaine fibre du
fibré associé E. L'existence, pour
P, d'une section globale, équivaut donc, pour E, à
l'existence de n sections indépendantes en tout point de M
(n désignant ici la dimension de la fibre type).
On dit qu'une variété est parallélisable
si son fibré tangent est trivial. De façon générale, les groupes de Lie sont des variétés
parallèlisables. En effet la donnée d'une base dans l'algèbre de Lie du groupe G
détermine n=dim(G) champs de vecteurs indépendants en tous points de G (les champs invariants
à gauche associés). On voit ainsi que le fibré tangent TG possède n sections indépendantes
(il est donc trivial), et que,
ce qui revient au même, le fibré principal FG (le fibré principal des repères
sur la variété G, fibré dont le groupe structural est GL(n))
possède une section globale. Les groupes ne sont pas les seules variétés
parallèlisables ; l'exemple le plus célèbre de variété
ne possédant pas de structure de groupe mais étant néanmoins parallélisable
est sans doute celui de la sphère 
(seules les sphères 
, 
et 
possèdent une structure de groupe).
La démonstration de cette propriété repose sur l'utilisation du produit de Cayley
dans 
(l'``algèbre'' des octonions). Les sphères 
de
dimension n=0,1,3,7 sont les seules sphères à
être parallèlisables. Signalons sans démonstration
quelques autres exemples de variétés parallèlisables :
les variétés de Stiefel complexes SU(n)/SU(k) (en excluant les sphères, c'est à dire en
supposant 
),
les espaces homogènes qui sont des quotients de SU(n) par des
sous-groupes du type 
(à condition d'exclure une seule exception,
la sphère 
), les quotients du type Sp(n)/SU(2), l'espace homogène
SU(4)/H où H est le sous-groupe de SU(4) isomorphe à SU(2) constitué des matrices du type
, avec 
.