Sections de fibrés associés et champs

 

• Soit P=P(M,G) un fibré principal et E=E(M,F) un fibré associé . Nous savons ce qu'est une section d'un espace fibré, à savoir une application différentiable de M dans P, ou dans E, telle que soit l'identité de M, désignant la projection du fibré correspondant. L'ensemble des sections globales est quelquefois vide (cas des fibrés principaux non triviaux) mais on sait qu'un fibré vectoriel admet de nombreuses sections globales. Soit l'ensemble de ces sections. Dans le cas où E est le fibré tangent TM d'une variété, il est évident qu'une section n'est autre qu'un champ de vecteurs ; de la même façon, les champs de tenseurs d'ordre supérieur sont également des sections de fibrés vectoriels appropriés.
• En physique, les champs de matière classiques sont toujours décrits par des sections de fibrés associés (le mot ``classique'' signifiant ici qu'on fait allusion aux théories de champs classiques et non aux théories de champs quantiques). C'est ainsi qu'un champ de quarks, par exemple, est une section d'un fibré à fibres , mentionné au paragraphe précédent, et que les champs de matière des ``modèles non linéaires'' sont des sections de fibrés en espaces homogènes. Pour cette raison, on dira quelquefois champ de matière   au lieu de ``section de fibré associé''. L'ensemble est donc l'espace des champs de matière caractérisé par le fibré E=E(M,F).
• ll existe au moins quatre descriptions possibles d'un tel champ de matière ; illustrons ces quatre descriptions dans le cas des champs de vecteurs.
  1. On peut considérer comme une section de E (cf. supra) et on écrit .
  2. On peut considérer v (laissons tomber les flèches !) comme une application de P dans F (et non plus de M dans E) qui, au repère , un élément de P, associe le n-uplet de composantes (un élément de F). Ce point de vue redonne (au deuxième degré !) un sens intrinsèque à la notation ``avec des indices''. Cette application de P dans F n'est pas quelconque, elle est équivariante. En effet, si le repère a pour image , il faut que le repère ait pour image . Ici g et désignent respectivement un élément du groupe structural et la représentation définissant le fibré associé. Il existe une correspondance bijective entre l'ensemble des sections d'un fibré associé E=E(M,F) et l'ensemble des applications équivariantes du fibré principal correspondant P dans la fibre type F. On peut donc identifier avec l'ensemble des applications de P dans F qui sont équivariantes, c'est à dire . Cette identification se généralise au cas des p-formes sur M à valeurs dans les sections de E :
  3. On peut évidemment fixer --tout au moins localement-- une section de P, c'est à dire choisir un ``repère mobile'' et caractériser v(x) par ses composantes dans le repère choisi. C'est cette méthode qui est la plus utilisée dans les calculs pratiques (on ne regarde que mais il faut alors se rappeler qu'on a effectué un choix et que ce choix est d'ordinaire local.
  4. Les trois descriptions ci-dessus suffisent généralement à discuter le cas de la ``géométrie commutative'' (la géométrie tout court ?) ou de son pendant physique, la théorie classique des champs. Cela dit, dans le cas des espaces fibrés vectoriels, il existe une quatrième description que nous n'aurons pas le loisir de discuter plus avant mais qui se généralise parfaitement au cas de le géométrie non commutative. La voici. On sait que l'ensemble des fonctions sur M constitue une algèbre (commutative) ; soit v un élément de (un champ de matière) et soit f une fonction sur la base, alors, il est bien évident que f v est encore un élément de . En d'autres termes, les champs de matière --les sections de E-- constituent un module sur l'algèbre des fonctions sur M (il s'agit même d'un bimodule puisque l'algèbre des fonctions sur M est commutative et d'un bimodule particulier puisque les deux actions à droite et à gauche co•ncident).