La plupart des objets mathématiques auxquels nous avons
tendance à penser de prime abord sont des exemples de
variétés topologiques (avec ou sans bord), et, pour cette
raison, il est bon de donner quelques exemples d'espaces
topologiques qui ne sont pas des variétés.
Considérez par exemple une croix (réunion de
deux segments d'intersection réduite à un point); ce n'est pas une variété
car le point
situé à l'intersection des deux segments possède des
voisinages en forme de croix, et une croix n'est jamais
homéomorphe à un ouvert de 
. Le globe impérial
est un objet qu'on pourrait penser à
modéliser mathématiquement par une sphère
(variété de dimension 2) sur laquelle on aurait collé
une croix (réunion de deux segments) Cet espace n'est pas
une variété pour deux raisons. La première vient du point
d'intersection des deux branches de la croix (déjà vu) et
la deuxième est analogue puisque le point ou on a collé
la croix sur la sphère possède des voisinages qui ne sont
homéomorphes ni à des ouverts de 
ni à des ouverts
de 
.
Ces derniers exemples ne sont pas des variétés mais sont
néanmoins obtenus par recollement de variétés... (CW
complexes) Ils ne possèdent pas une dimension
déterminée mais ont néanmoins une structure assez
simple. On peut cependant faire bien pire... Les exemples
d'espaces topologiques qui ne sont pas des variétés
abondent (prenez par exemple des espaces topologiques
qui ne sont pas de Haussdorf, c'est à dire qui possèdent
des points qu'on ne peut pas séparer à l'aide d'ouverts
disjoints). Il ne faudrait pas croire que les espaces
qui ne sont pas des variétés n'ont pas d'intérêt
mathématique ou physique, bien au contraire. En fait, la
géométrie non commutative (dont nous ne parlerons pratiquement pas dans
cet ouvrage) s'est développée en grande partie pour forger des outils
permettant de ``calculer'' dans de tels espaces, espaces qui sont
en fait complètement décrits par des algèbres associatives mais
généralement non commutatives 
Par ailleurs, on sait que la
description
mathématique de la mécanique quantique repose sur l'utilisation des
algèbres d'opérateurs, ce qui explique la raison pour laquelle les
phénomènes physiques relevant de cette mécanique soient si peu
intuitifs puisqu'il nous faut, dans ce cas, abandonner nos notions
familières de
géométrie ``commutative''. C'est à l'étude de cette géométrie commutative
qu'est consacrée le présent ouvrage. Attention à la terminologie (mise en
garde destinée au lecteur trop savant) : l'expression classique des
théories
de jauge non abéliennes ainsi que l'étude des groupes de Lie (en général
non commutatifs),
relèvent de la géométrie commutative!
Le calcul différentiel - et la physique classique - se
sont développés dans le cadre des variétés et c'est
pourquoi nous commençons par là. La structure de variété
topologique est d'ailleurs elle-même insuffisante pour
pouvoir travailler dans de bonnes conditions: Il nous
faudra pouvoir différentier les fonctions un nombre de
fois suffisant. Pour ce faire il nous faudra supposer que
les variétés (en anglais manifolds) considérées ne
sont pas ``froissées'': elles doivent être ``lisses'' (bien
repassées!). Ce sont les variétés différentiables (en
anglais smooth manifolds).