Soit 
une transformation de jauge, z un élément de P et
une section locale au voisinage de 
. Le repère
étant dans la même fibre (au même point!)
que le repère mobile 
, il doit être possible d'atteindre le
premier à partir du second par l'action d'un élément approprié de G que
nous noterons g(x), puisque G est transitif sur les fibres. Cet
élément est donc défini par l'équation 
c'est à dire encore par
en
utilisant la notation introduite en fin de section 3.2.1. Notons que g(x)
dépend non seulement de mais aussi de la section choisie
; on pourrait utiliser la notation un peu lourde 
pour
désigner cet élément.
Lorsque P est trivial, on sait qu'il existe des sections globales. Soit
une telle section, alors, l'équation précédente définit une
application de M dans G ; réciproquement, la donnée d'une application
g(x) de M dans G permet, lorsque le fibré principal est trivial, de
définir, via le choix d'une section globale , une transformation
de jauge par la même équation. Lorsque P est trivial, on peut
donc identifier le groupe de jauge avec le groupe 
des applications différentiables de M dans G. La correspondance n'est
cependant pas canonique puisqu'elle dépend du choix d'une section globale
. Cette identification ``explique'' pourquoi les automorphismes
verticaux sont désignés par les physiciens (des particules) sous le nom
de ``transformations de jauge locales'', le mot ``local'' se référant ici
à la dépendance ``en x'' car la transformation g(.) elle-même est
globalement définie lorsque P est trivial.