Il existe plusieurs façons de définir la notion de
connexion et nous venons d'en mentionner deux
(distribution horizontale équivariante et application de
relèvement horizontal) dont l'interprétation géométrique
est intuitive; en pratique, cependant, c'est une troisième
méthode qui va nous permettre de traduire cette
notion sous forme analytique. Nous supposons donc donnée
sur l'espace fibré principal P=P(M,G) une distribution
horizontale équivariante. La forme de connexion
est une forme sur P et à valeurs dans l'algèbre de Lie
du groupe structural. Elle est définie comme
suit. Soit e un élément de P (un repère de M), et
une base de Lie(G). Nous décomposons l'espace
tangent T(P,e) en un sous espace vertical 
engendré par les champs fondamentaux 
et un sous espace
horizontal 
défini par la donnée de la
distribution horizontale. On pose
Ainsi donc, on peut décomposer tout vecteur 
, comme suit :
avec 
et
. La forme est donc
bien définie. Sa signification est claire :
si on effectue un déplacement infinitésimal du repère e
(sans changer l'origine), on associe à ce déplacement la
rotation infinitésimale 
correspondante; si, au contraire, on effectue un
déplacement infinitésimal du repère e en déplaçant
l'origine mais sans faire ``tourner'' le repère, on obtient
. Bien évidemment, on peut analyser les
choses différemment en décidant que la connexion est
définie par la forme de connexion , la rotation du
repère e lors d'un déplacement infinitésimal V étant
précisément mesurée par la rotation infinitésimale
et ceci donne alors un sens au verbe ``tourner''.
La distribution horizontale étant
équivariante, il s'ensuit que les noyaux de
en e et en 
sont reliés par
Ici encore, l'application tangente est simplement notée g.
Nous reviendrons un peu plus loin (en 4.3.6) sur la théorie des connexions dans les fibrés principaux mais nous allons, pour des raisons aussi bien pédagogiques (c'est plus simple!) que pratiques (on mène en général les calculs sur la base), passer à une expression locale de la forme de connexion, puis, à partir de là, développer la théorie dans les fibrés vectoriels associés.