Intuitivement, on peut considérer une variété
différentiable comme une variété topologique (voir
exemples supra) qui soit ``lisse'', c'est à dire sans
plis, sans coins etc.
Une variété différentiable M de dimension n est donc avant
tout une variété topologique. Nous définissons tout s'abord
la notion de carte qui généralise la notion usuelle de
carte géographique. Une carte consiste en la donnée
d'un ouvert 
de M ainsi que d'une application 
avec 
. Il importe de bien
établir une distinction entre le point 
lui-même
et ce qu'on appelle ses coordonnées 
dans la
carte choisie. On suppose, de plus, que l'application
x est bijective et bi-continue de sur son
image.
Mis à part le cas relativement trivial où M est
homéomorphe à 
, il nous faut plusieurs cartes pour
recouvrir la variété M. On appellera atlas
(sous-entendu différentiable) la donnée d'un ensemble de
cartes 
qui recouvrent M c'est à dire telles
que 
et telles que les changements de
cartes 
soient des bijections
différentiables, ainsi que leurs inverses. Précisons ce
dernier point. Supposons que 
, on peut donc représenter par un
point de dans la carte 
ou par
un autre point 
de dans la carte
. On note le changement de cartes (encore
appelé transformation de coordonnées); c'est une
application de l'ouvert 
de dans l'ouvert
de . On sait ce que signifie
``différentiable'' pour une application de dans
: les dérivées partielles, par rapport à chacune
des variables, doivent exister. On impose donc à
d'être une application différentiable. On
lui impose également d'être bijective (donc inversible)
et on impose à son inverse 
d'être également différentiable. Bien
entendu, il faut préciser un peu plus ce qu'on entend par
différentiable: suivant qu'on impose aux applications
d'être une seule fois différentiable, r
fois différentiables ou infiniment différentiables,
on parle d'atlas de classe 
, 
ou 
.
Dans la suite de l'ouvrage et sauf mention explicite du
contraire, c'est de classe qu'il s'agira. La
première façon de définir une variété
différentiable est de se donner une variété
topologique ainsi qu'un atlas différentiable. Du pont de vue des
notations, il n'est pas très commode de faire figurer
l'indice i qui se rapporte à la carte, sur le système
de coordonnées x; dans le cas où on en considère
deux (par exemple x et y) on écrira les formules de
changement de carte (l'application ) sans
introduire de nouvelle notation en écrivant simplement
comme une fonction de 
, c'est à dire 
.