Notre but est ici d'étudier la dérivation covariante des éléments de
.
Considérons le fibré vectoriel 
, c'est un fibré associé
comme un autre... Ses éléments peuvent s'écrire
Si 
agit via la représentation 
sur l'espace
vectoriel V, il agit via 
sur
l'espace vectoriel
, d'où il s'ensuit que l'opérateur 
vérifie la
propriété
Le lecteur ayant quelques notions sur les
algèbres de Hopf aura reconnu la relation directe existant entre la
règle de Leibniz pour et le coproduit standard sur l'algèbre enveloppante de Lie G.
On écrira par exemple, pour 
,
où
Le lecteur n'aura aucun mal à généraliser cette dernière
formule à des situations plus générales ;
mnémotechniquement la dérivation covariante dans la
direction 
s'obtient en rajoutant à la dérivée ordinaire
(le premier terme dans l'expression ci-dessus) un terme
de type " A.t " pour chaque indice de fibre (on ``corrige'' chaque
indice en
le remplaçant par un indice muet sur lequel on somme). Attention : si les
indices de fibre sont en bas, il faut utiliser un signe moins (voir
l'explication dans la sous-section précédente).
Voici un dernier exemple : Soit 
,
alors 
,
avec
Le premier terme 
est défini comme 
si on travaille dans repère naturel, mais il
doit
être compris comme 
si on utilise un repère mobile
quelconque, et, dans ce cas, on a
où 
désigne le co-repère mobile
dual.
La dérivée covariante d'un tenseur quelconque 
dans la direction du champ
de vecteurs 
est définie par
