En géographie ordinaire (celle du globe terrestre) il est
bien connu qu'il nous faut au moins deux cartes pour
décrire la Terre. Par contre, rien ne nous interdit d'en
utiliser trois ou plus 
. Si on réunit les cartes
d'un atlas avec celles d'un atlas différent (concernant la
même variété topologique), on peut s'attendre à fabriquer
ainsi un atlas plus grand, un peu redondant, certes, mais
néanmoins utile. Il faut cependant prendre la précaution
d'imposer aux cartes d'être compatibles, c'est à dire
telles que les formules de changements
de cartes, d'un atlas à l'autre, puissent s'exprimer
en terme de transformations différentiables de 
.
Cette précaution n'est pas
inutile et peut conduire à des surprises. Rien ne nous
empêche alors de considérer l'ensemble (assez gros il est vrai!)
de tous les atlas compatibles possibles d'une variété
donnée et de les réunir en un unique atlas maximal .
Bien qu'un seul atlas suffise à caractériser complètement
la variété, il peut être très utile de considérer la
variété M équipée d'un tel atlas maximal contenant
toutes les cartes compatibles possibles. En d'autres termes, on peut
complètement caractériser une variété différentiable par la
donnée d'une variété topologique et d'un atlas maximal. Il se trouve
que, dans
certains cas, une variété topologique donnée possède plusieurs
structures différentiables (plusieurs atlas maximaux distincts). C'est
le cas pour 
(le seul, parmi les espaces numériques à
posséder des structures différentiables ``exotiques'') et c'est aussi
le cas pour les sphères 
lorsque 
. Nous ne nous
intéresserons pas à ces phénomènes dans le cadre de cet ouvrage.