En mathématiques élémentaires, on définit souvent les
espaces géométriques intéressants (par exemple une sphère)
comme sous espace d'un espace affine 
. L'idée
fondamentale du calcul sur les variétés (calcul
différentiel intrinsèque comme on l'appelait autrefois)
est de faire abstraction du fait que la variété qui nous
intéresse est, ou non, plongée dans un espace ``plus
grand'' et de développer un calcul qui soit totalement
indépendant du plongement en question. Les motivations
physiques sont analogues. Par exemple, l'expérience
quotidienne nous montre que tout événement de
l'univers sensible (whatever it means) peut se décrire à
l'aide de quatre nombres spécifiant sa position (trois
nombres) et sa date (un nombre). Mais pourquoi supposer,
a priori que l'ensemble de ces événements doive
être décrit à l'aide d'un un espace 
? Pourquoi pas
une hyper-sphère (ou n'importe quoi d'autre?) Mais alors,
si on décide d'utiliser une hyper-sphère de dimension
4 pour décrire notre espace-temps, ou, comme dans
certains modèles cosmologiques, comme le produit d'une
hyper-sphère (gonflable) de dimension 3 par une droite
ou une demi-droite, pourquoi supposer que notre variété est
plongée dans un espace de dimension 5 ou plus dont les
points sont sans signification physique? Puisque c'est
possible, autant travailler dans la variété qui nous
intéresse sans chercher à en ``sortir''.
L'idée la plus fondamentale et la plus simple du calcul
différentiel sur les variétés est la suivante. Grâce à
l'existence locale des cartes, on peut toujours faire
``comme si'' on était sur et développer des outils
et des méthodes de calcul sans se soucier - dans un
premier temps - de leur globalisation, quitte à
vérifier, par la suite, que tout se recolle comme il faut
lorsqu'on passe d'une carte à l'autre. C'est ainsi que
l'essentiel des notions qui suivent sont en fait des
notions qui peuvent être définies dans un espace
et dont la généralisation, au cas des variétés, est
quasi-immédiate. Nous ne supposons pas que le lecteur est
déjà familier des notions en question; c'est la raison
d'être des paragraphes qui suivent.