Il existe essentiellement deux façons d'exprimer l'opérateur de courbure.
la
première, en fonction des coefficients de connexion (potentiels de jauge)
est
celle que nous venons de voir. La seconde, baptisée ``équation de
structure''
exprime directement la courbure en fonction de l'opérateur de dérivée
covariante. A titre d'exercice préliminaire, nous avons déjà calculé explicitement les
composantes de la différentielle extérieure covariante 
d'une
1-forme 
à valeurs dans un fibré vectoriel E. Soit
un co-repère mobile (base constituée de sections locales
de
) et 
un repère local du fibré E (base constituée de
sections
locales de E). Soit 
. On peut donc écrire
. Nous avons déjà vu que
Supposons maintenant que la 1-forme , à valeurs dans E soit
elle-même obtenue comme la différentielle d'une section v de E :
.
Dans ce cas 
. Nous utilisons le calcul précédent ; il
vient
Mais, par définition,
Nous obtenons donc l'équation de structure pour la courbure F:
Comme d'habitude, nous avons posé 
et
même
pour alléger les notations.
Noter que le second terme de l'équation de structure pour l'opérateur de
courbure s'annule lorsque le repère choisi dans TM est un repère naturel,
puisque, dans un tel cas, 
.
Rappelons que, 
et 
étant fixés, 
est un opérateur
(linéaire), plus précisément un endomorphisme de la fibre au dessus du
point
x dont les éléments de matrice sont des nombres 
.
Rappelons également que nous écrivons toujours les indices de forme ``en dernier'',
c'est à dire 
et non 
.