Cette identité, désignée souvent sous le nom de deuxième identité de
Bianchi
(nous verrons la ``première'' dans le chapitre consacré aux
connexions linéaires) est une identité satisfaite par l'opérateur de
courbure.
Elle s'obtient en utilisant la définition de 
et les
propriétés élémentaires suivantes: 
et 
.
Tout d'abord 
.
On utilise alors une deuxième fois la définition de F en remplaçant dA
par
dans la dernière expression. Il vient
, d'où
On peut écrire explicitement les indices de forme: voir page
.
Notons que, lorsque le groupe structural est abélien,
puisque ces formes sont à valeurs réelles. L'identité de Bianchi s'écrit
alors simplement dF = 0, ce qui nous donne la ``moitié'' des équations de
Maxwell décrivant le champ électromagnétique (celles qui ne font pas
intervenir
les sources). Dans le cas non abélien, et dans le contexte de l'étude des
particules élémentaires (par exemple dans l'étude du champ
chromodynamique), la
même équation de Bianchi nous donne la ``moitié'' des équations de
Yang-Mills (celles qui ne font pas intervenir les sources).