Il est quelquefois plus facile de présenter un livre en disant ce qu'il n'est pas et en dressant une liste des motivations de l'auteur qu'en essayant d'en expliciter le contenu.
Ce livre, bien qu'il contienne un exposé de géométrie différentielle (avec un accent particulier mis sur les groupes de Lie, la théorie des espaces fibrés, la théorie des connexions et la géométrie riemanienne) n'est certainement pas un cours de mathématiques traditionnel. Les mathématiciens cultivent en effet, d'ordinaire et à loisir, la précision du style et la concision du discours. L'exposé qui suit essaye au contraire de présenter les idées importantes en faisant souvent appel à l'intuition, en effectuant de nombreux retours en arrière et en ne négligeant pas les clins d'oeil à la physique. On peut donc espérer que la lecture de l'ouvrage présent sera un peu moins aride que celle d'un traité traditionnel.
Ce livre n'est pas non plus un cours de physique théorique. Il y manque beaucoup trop d'informations ! Celui ou celle qui souhaite se lancer à la découverte de l'Espace-Temps et déchiffrer certains des mystères de notre univers devrait s'attaquer à de saines lectures (par exemple [5]). L'ouvrage présent ressemble davantage à un cours de mathématiques qu'à un cours de physique; la physique n'est cependant pas absente, au contraire: les idées physiques sont cachées derrière chaque paragraphe, ce sont elles qui sont, la plupart du temps, à l'origine des notions ``abstraites'' que nous allons présenter.
Bien qu'il ne s'agisse pas là d'un ouvrage de vulgarisation sur la
physique théorique ou les mathématiques, j'ai pourtant
rédigé de nombreux paragraphes en pensant à certains de mes amis
possédant une culture mathématique relativement modeste mais
néanmoins dotés d'un esprit curieux et aimant vagabonder de temps
à autres sur des terrains situés au confluent de l'infiniment
petit, de l'infiniment grand, des mathématiques et de la
métaphysique. Je dois dire, en relisant l'ouvrage après coup,
que, de ce point de vue, j'ai peur d'avoir echoué: le contenu
présenté ressemble plus à un cours de troisième cycle
spécialisé qu`à un ouvrage de vulgarisation 
Cela dit, je pense -- et j'espère -- qu'à la condition de commencer
la lecture à la première page sans essayer de démarrer en plein milieu,
l'ouvrage est accessible à tout lecteur disposant d'un bagage mathématique
équivalent à celui qu'on est censé acquérir en DEUG ou en
classe de Mathématiques Spéciales.
A propos de motivations, je dois aussi
signaler que d'autres de mes amis, dotés d'une culture
mathématique plus que respectable n'ont malheureusement jamais eu
le temps ou la patience de traduire le jargon quelquefois flou des
physiciens dans la langue bourbakiste qu'ils affectionnent. Le
présent ouvrage, bien que résolument peu bourbakiste, dans le
style, est également écrit pour eux. Finalement, ce livre est
également --et probablement surtout-- écrit pour les
étudiants en mathématiques ou en physique (qu'on ne vienne pas
me demander ``De quelle année?'' !) De fait,
les thèmes qui vont être abordés peuvent se rencontrer dans un
cours de maîtrise de mathématiques (ou de DEA) mais on les
trouvera souvent incorporés à un enseignement de troisième cycle
de physique théorique ou de géométrie différentielle.
L'étudiant, physicien ou
mathématicien, trouvera peut-être, dans cet ouvrage, ce qu'il
cherche (en utilisant l'index et la table des matières) et le
non-spécialiste y trouvera peut être ce qu'il ne cherchait pas
Enfin, ce livre n'est pas un ouvrage de philosophie ou de métaphysique (Dieu m'en garde!) bien que certaines réflexions de nature éminemment philosophiques ne soient pas absentes des pages qui suivent, surtout dans cette introduction.
La partie ``géométrie différentielle'' de ce travail est issue d'un cours de troisième cycle que j'ai eu l'occasion de donner pendant plusieurs années au sein du Diplôme d'Etudes Approfondies (DEA) de Physique Théorique, organisé au Centre de Physique Théorique, à Luminy (Marseille) ainsi qu'en 1997, dans le DEA de Physique Théorique organisé à l'Ecole Normale Supérieure de Lyon. La partie ``non commutative'' (la dernière section) est un court extrait d'une série de cours que j'ai donnés dans les universités de Rio de Janeiro (URJ, UFRJ et CBPF), de Saragosse et de La Plata ainsi qu'à San Carlos de Bariloche, en 1996 et 1997.