Soient M et N deux variétés différentiables de
dimensions respectives m et n. application différentiable
de M dans N est une application
qui peut s'écrire localement à l'aide d'une application
différentiable (encore notée ) de 
dans 
.
En d'autres termes, si on a 
avec 
, alors, grâce au choix
de cartes 
et 
, on pourra écrire (et on
écrira!) 
ce qui signifie, en fait 
. L'ensemble
des applications différentiables de M dans N se
note 
Petite parenthèse sur le problème des notations en mathématiques: Il est important de comprendre la signification de ce qu'on écrit, mais il est (de l'avis de l'auteur) absurde de vouloir que la notation utilisée nous rappelle à tout moment les différents abus d'écriture commis depuis le chapitre 1 du tome 1 de Bourbaki et sans lesquels il n'est pas de calcul possible!
L'application (celle qui va de M dans N) est
donc caractérisée - les cartes étant choisies - par n
fonctions différentiables 
de m variables
. Il est alors naturel de considérer la matrice
jacobienne de cette application, c'est à dire la matrice
rectangulaire 
des dérivées partielles
Nous en
reparlerons un peu plus tard.