Réduction des connexions

Soit P=P(M,G), un espace fibré principal, H un sous-groupe de G et soit Q=Q(M,H) une réduction du fibré P. Nous savons qu'une telle réduction est associée au choix d'une section globale (que nous désignerons par ) dans le fibré en espaces homogènes E=E(M,G/H) qui est associé à P via l'action à gauche de G sur G/H. On rappelle que où p désigne la projection de P sur .

Soit maintenant une forme de connexion définissant une forme de connexion principale dans P. On dira que cette connexion est réductible et se réduit à Q si la restriction (au sens de la restriction des applications) de à Q définit une connexion principale dans le fibré Q. En particulier, , restreinte à Q doit être à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe H.

Au niveau des algèbres de Lie, nous pouvons écrire où et désignent respectivement les algèbres de Lie de G et de H, et où est un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans , espace vectoriel qui peut être identifié avec l'espace tangent à l'origine de . Supposer la connexion réductible revient à supposer qu'elle ne possède pas de composantes le long de l'espace vectoriel .

Soit une forme de connexion quelconque dans le fibré P et sa restriction au sous-fibré Q. On peut toujours décomposer

avec et lorsque . Il est facile de voir que est une forme de connexion sur le fibré principal Q et que, plus généralement, il existe une bijection entre l'ensemble des connexions sur P et l'ensemble des couples où est une connexion sur Q et où est une 1-forme à valeurs dans . Supposer réductible revient dès lors à supposer que .

Soit la courbure de et sa restriction à Q. Il vient immédiatement :

où et

Cette décomposition de la forme de connexion et de la courbure correspondante peut être effectuée chaque fois qu'on a une réduction du fibré P (chaque fois qu'on a une section globale de ). La forme de connexion elle-même n'est pas nécessairement réductible : en général .

Citons trois exemples particulièrement importants de ce type de construction. Nous n'aurons pas le loisir de beaucoup les discuter plus avant mais nous les proposons néanmoins au lecteur, comme thèmes de réflexion.

• En physique, cette décomposition de la forme de connexion apparaît lorsqu'on analyse le phénomène de brisure de symétrie : la forme de connexion (où plutôt le potentiel de Yang-Mills associé) est le champ de Yang-Mills survivant à la brisure de symétrie, et (où plutôt le potentiel associé) décrit les bosons vectoriels massifs.
• Il existe un fibré principal dont nous n'avons jamais parlé et qu'on peut construire en élargissant le fibré FM des repères linéaires : c'est le fibré AM des repères affines. On le construit par la méthode générale d'élargissement des espaces fibrés, en remplaçant le groupe de structure de FM (à savoir le groupe linéaire GL(n)) par son produit semi-direct avec les translations, c'est à dire le groupe affine . Conformément à la discussion qui précède, on peut, à l'aide d'une connexion linéaire (une connexion sur FM) et de la 1-forme canonique sur FM à valeurs dans (un élément particulier de sur lequel nous reviendrons en section 4.4.4), fabriquer une forme de connexion sur le fibré principal AM. Une telle connexion sur AM, construite grâce à la forme canonique , s'appelle connexion affine.   (attention : il existe des connexions sur AM qui ne sont pas de ce type) et la différentielle covariante s'interprète, dans ce cas, comme la 2-forme detorsion . Nous y reviendrons. Notons que, dans le cas général on peut désigner sous le nom de forme de torsion généralisée. 
• On peut aussi partir du fibré principal FM des repères linéaires et, grâce au choix d'une métrique (une section globale de , dont la fibre type est GL(n)/SO(N)), le réduire à un fibré de repères orthonormés noté OM. Une connexion arbitraire sur FM n'est pas nécessairement réductible. On dira qu'une connexion sur FM est une connexion métrique , ou encore, qu'elle est compatible avec la métrique, si elle est réductible. Bien entendu, on pourrait tout aussi bien choisir directement une connexion sur un fibré OM lui-même caractérisé par le choix d'une métrique. Nous y reviendrons également.