Il existe deux cas particuliers particulièrement intéressants.
Le premier est celui où M et N
coï ncident. Dans ce cas, il peut se faire que
l'application différentiable 
soit non seulement
différentiable mais encore bijective et que son inverse
soit également différentiable. On dit alors que
est un difféomorphisme . Notons qu'une application
différentiable est automatiquement continue et que, par
conséquent, un difféomorphisme est automatiquement un
homéomorphisme. Il est facile de vérifier que l'ensemble
des difféomorphismes d'une variété différentiable M
constitue un groupe pour la composition des applications.
On note ce groupe 
; c'est un
sous groupe de l'ensemble 
des
homéomorphismes de M. Notons qu'il existe une
correspondance assez subtile entre difféomorphismes d'une
part - qui sont des transformations que l'on appelait
autrefois ``actives'' car elles transforment les points
de M en d'autres points de M - et changements de
coordonnées - qui sont des transformations que l'on appelait
autrefois ``passives'' car elles ne transforment pas les
points de M mais résultent seulement d'un changement de
carte.
Il est à peu près évident que ces deux notions
coï ncident dans le cas où M est l'espace 
lui-même (muni de la structure différentiable définie
par une unique carte canonique, l'application identique).
Examinons de plus près le cas général. Les cartes étant
elles-mêmes des difféomorphismes locaux entre ouverts de
M et ouverts de , effectuer un changement de carte
(changement de système de coordonnées) se traduit par un
difféomorphisme local y(x) de . Par contre, un
difféomorphisme de M est, par définition, une notion
globale qui se traduit elle-aussi, après choix de cartes,
par un difféomorphisme local de . L'équivalence des
points de vue ``actifs'' et ``passifs'' n'existe donc que
pour et il semble préférable d'éviter cette
terminologie. Une idée physique fondamentale, à la base
de la théorie de la relativité générale est que les
équations de la physique doivent pouvoir s'écrire de façon
tout à fait indépendante de l'observateur, quelle que soit
l'état de mouvement de ce dernier. Traduite en termes de
coordonnées, ce ``Principe de Relativité Générale'' a
souvent été exprimé de par le passé comme affirmant
l'indépendance des lois de la physique par rapport aux
changements de systèmes de coordonnées. Une telle
affirmation manque de précision, dès lors qu'on travaille
sur une variété quelconque et non sur un espace
numérique. Il semble d'ailleurs qu'A. Einstein lui-même
n'ait jamais pu exprimer correctement ce principe de
façon vraiment précise et moderne (cela n'enlève rien à son
génie!). Le principe en question peut s'énoncer ainsi:
l'espace-temps étant décrit par une variété
différentiable, les lois de la physique doivent être
invariantes sous l'action du groupe des difféomorphismes
de cette variété.