Le tenseur de courbure F pour une connexion principale quelconque
possède des composantes 
et il est impossible de
contracter l'indice i avec l'indice 
puisque ces indices sont de
nature différente : l'un est un indice de fibre et l'autre un indice de
base. Par contre, pour une connexion linéaire, on peut choisir le même
repère dans les fibres et sur la base, il devient donc possible de
contracter un indice de fibre avec un indice de base : à partir du tenseur de courbure
de composantes 
, on peut fabriquer
un tenseur covariant de rang 2, le tenseur de Ricci , que nous noterons
et qui est donc défini par l'égalité
Notons que nous n'avons pas eu besoin de métrique pour définir ce
tenseur alors que l'utilisation d'une métrique est nécessaire, comme
nous le verrons, pour définir la courbure scalaire.
Nous reviendrons au tenseur de Ricci dans le cadre de l'étude des connexions
métriques.