Soit G un groupe, que nous supposons ici compact, et G/H un espace homogène. Au niveau des algèbres de
Lie, grâce au choix d'un produit scalaire dans 
on peut écrire 
où
peut s'identifier avec l'espace tangent à G/H en l'origine.
La forme de Maurer-Cartan sur G est à valeurs dans et on peut considérer sa
projection sur 
. On montre qu'on obtient ainsi une forme de
connexion (dite canonique) sur le fibré principal G=G(G/H,H). Par ailleurs
nous supposons (cas
usuel) que 
et même que 
. En d'autres termes,
l'espace vectoriel est le support d'une représentation
linéaire du groupe H (c'est la représentation 
). En conséquence,
on obtient un homomorphisme de H dans 
. Cet
homomorphisme permet d'étendre le fibré principal G=G(G/H,H) au fibré
des repères linéaire au dessus de G/H (c'est un fibré de base G/H et
de fibre type GL(s) avec 
). La connexion canonique
donne ainsi naissance à une connexion linéaire sur l'espace homogène G/H.
Ce type de construction
et les
géométries qui lui sont associées constituent un vaste chapitre de la
géométrie différentielle et nous renvoyons le lecteur à un ouvrage tel
que [9] pour plus de détails. Notons pour finir qu'on
obtient ainsi également une connexion linéaire sur G lui-même lorsqu'on
considère la variété sous-jacente comme quotient de 
par son sous-groupe diagonal
(isomorphe à G).