Nous avons déjà analysé en détail les propriétés du tenseur de courbure, pour une connexion linéaire quelconque, et il n'y a pas grand chose à rajouter lorsqu'on suppose que cette connexion est une connexion métrique, si ce n'est la propriété d'antisymétrie suivante : en posant
on s'aperçoit que non seulement ce tenseur est antisymétrique sur ses deux derniers indices (comme toujours, puisqu'il provient de la 2-forme de courbure) mais que, en outre, il est également antisymétrique sur ces deux premiers indices (utiliser l'expression de la courbure en terme de la connexion et l'antisymétrie déjà discutée des éléments de la matrice de connexion, ou, plus directement, se rappeler que les générateurs de SO(n) sont des matrices antisymétriques).
En résumé, pour une connexion quelconque et dans un repère quelconque :
Pour une connexion métrique et dans un repère orthonormé (ou dans un repère de forme invariable) :
Pour une connexion métrique, sans torsion, en repère orthonormé, les deux identités précedentes impliquent alors la suivante (utiliser les identités de Bianchi) :
- Symétrie par échange de paires
Par ailleurs, les expressions des identités de Bianchi se simplifient pour la connexion de Levi-Civita (puisque la torsion disparaît). Il vient :
Bianchi-2 sans torsion :
) :