La deuxième classe de cas particuliers intéressants est
celle où l'application différentiable considérée 
,
de M dans N est définie sur une variété
quelconque M, mais ou N coï ncide avec
l'ensemble 
des nombres réels. Les applications
différentiables en question sont désignées sous le nom de
fonctions différentiables sur M ; l'utilisation du mot ``fonction''
est en accord
avec les habitudes terminologiques anglaises, où les
applications quelconques sont des ``maps'' , mais où les
applications à valeurs réelles (ou complexes) sont des
``functions''. L'ensemble des fonctions différentiables
sur M se note 
Remarque: l'ensemble des fonctions
différentiables 
est une algèbre pour
l'addition des fonctions 
, la
multiplication des fonctions définie (ponctuellement)
par 
et l'opération externe de
multiplication par un nombre réel. C'est une sous-algèbre
de l'algèbre commutative 
.
Le lecteur peut s'étonner de la présence et de la
signification de l'indice supérieur 0 ou 
dans les notations ou . Cet
indice se réfère à l'ordre de différentiabilité supposé
des fonctions appartenant à l'ensemble considéré. On
pourrait bien entendu considérer des ensembles tels que
constitués de fonctions qui sont, au moins, p
fois différentiables. Dans la suite de cet ouvrage,
cependant, nous nous limiterons aux cas p=0, c'est à
dire les fonctions continues (qui peuvent évidemment être
différentiables ou non) et 
, c'est à dire
les fonctions infiniment
différentiables.