de composantes
dans la section consacrée aux
connexions linéaires puisque l'utilisation d'une métrique n'était pas
nécessaire. Dans un repère orthonormé et pour une connexion métrique,
on sait que le tenseur de Riemann
de composantes 
est invariant lorsqu'on permute
les deux premiers indices avec les deux derniers. On en déduit
immédiatement que, dans un repère orthonormé (un élément du fibré
principal des repères orthonormés associé à la métrique), le tenseur de
Ricci est symétrique ( 
) et définit donc
une forme bilinéaire symétrique ainsi qu'une forme quadratique 
où 
. L'application polaire associée est
l'application linéaire 
et les valeurs propres de 
sont les courbures principales de
Ricci .
est définie par l'égalité
Ce nouveau tenseur, comme et g est manifestement symétrique.
Son nom provient bien entendu de la théorie de la Relativité Générale,
puisque les équations d'Einstein
décrivant la réaction de la géométrie (décrite par
la métrique g) à la matière (décrite par un tenseur d'énergie-impulsion
noté traditionnellement
T -- ce n'est pas la torsion !--) s'écrivent simplement
L'étude de ces équations et de la physique qui leur correspond sort du cadre de cet ouvrage. Notons simplement que ces équations sont des équations différentielles du second ordre par rapport à la métrique puisque le tenseur de courbure s'écrit en terme des dérivées des coefficients de connexion et que ces derniers (cas de la connexion de Levi Civita) s'expriment en terme des dérivées de la métrique.
Par ailleurs mentionnons qu'une variété pour laquelle le tenseur d'Einstein est proportionnel à la métrique est, par définition, une variété d'Einstein . L'étude des variétés d'Einstein --un sujet fascinant de la géométrie Riemanienne-- sort également du cadre de cet ouvrage et nous renvoyons le lecteur aux articles spécialisés ainsi qu'au beau livre d'Arthur Besse (autre mathématicien imaginaire, comme Bourbaki) intitulé ``Einstein Manifolds'' [1].
Cette fonction définie dans le fibré tangent associe un réel à tout
couple de vecteurs. Cette fonction est 1) symétrique (puisque R est
symétrique par échange de paires), 2) bi-quadratique, 3) telle que
K(u,u) = 0. Réciproquement (démonstration non triviale que nous
omettrons), toute fonction K(u,v) vérifiant ces trois propriétés peut
être considérée comme la fonction bi-quadratique de courbure associée à
une certaine métrique. L'ensemble des fonctions symétriques,
bi-quadratique avec K(u,u)=0 forme un espace vectoriel de dimension
; en d'autres termes, il faut préciser
nombres réels pour décrire la courbure Riemanienne d'une variété de
dimension n en un point.
La fonction K associe un nombre à tout sous-espace de
dimension 2 de l'espace tangent. Soit u,v une base orthonormale
d'un 2-plan, on définit alors la courbure sectionelle de ce
sous-espace de dimension 2
par K = K(u,v) et on démontre que K est indépendant du choix de u
et v dans ce sous-espace. On démontre que, géométriquement, K n'est autre que la
courbure Gaussienne de la 2-surface engendrée par les géodésiques ayant
des vecteurs tangents de la forme 
. Nous renvoyons le
lecteur à un traité élémentaire de géométrie des surfaces pour les
notions relatives aux courbures de Gauss etc.