est une 0-forme à valeurs dans un fibré vectoriel E, on
pouvait tout d'abord considérer 
qui est un élément de
puis identifier 
avec 
, ce qui nous autorise, dans la mesure où les fibrés E et 
sont tous deux équipés de connexion, à considérer l'objet 
,
qui sera donc un élément de 
qu'on peut identifier avec 
.
De façon générale, nous avons défini le hessien
de comme
Dans le cas le plus simple où est une fonction scalaire f et
si nous choisissons la connexion de Levi-Civita, la torsion
est nulle, auquel cas les dérivées covariantes secondes commutent (voir
section 4.4.8) et Hess(f) est une forme bilinéaire symétrique sur le
fibré tangent.
Plus généralement, soit 
, 
un repère local
dans les fibres de E et 
un corepère mobile sur M.
Nous avons calculé explicitement 
en section 4.4.8.
Le laplacien naïf sur 
(on dit souvent ``laplacien
brut'') est défini par l'égalité
Explicitement, on a
C'est encore un élément de 
.
Dans le cas particulier d'une fonction f, et en utilisant un repère naturel, on obtient simplement
En jouant avec les différentes sortes de différentielles covariantes
généralisées, on peut définir plusieurs autres sortes de Laplaciens. On
peut aussi trouver les formules reliant ces différents Laplaciens 