Soit 
le fibré adjoint en groupes et 
le
fibré adjoint en algèbres de Lie (voir le chapitre ``Espaces fibrés''). On
se souvient que l'ensemble des sections globales de 
n'est autre
que le groupe de jauge (automorphismes verticaux de P)
et que l'ensemble des sections globales de 
est
l'algèbre de Lie 
du groupe de jauge. La fibre type
de est une algèbre de Lie, et donc, en particulier, un espace
vectoriel. Puisque est un fibré vectoriel, toute connexion
sur P donne naissance à une différentielle covariante
agissant sur les sections de (qui sont des
transformations de jauge infinitésimales) et plus
généralement à une différentielle extérieure
covariante 
agissant sur 
.
Noter que 
(voir section 3.3.10 (2)).
On supposera aussi qu'il est possible de plonger le groupe structural G dans une
algèbre de matrices 
, pour n assez grand et donc considérer
comme sous-fibrés du fibré vectoriel
. On peut donc également considérer la
différentielle covariante agissant sur une transformation de jauge
finie, 
.
Soit 
l'ensemble de toutes les connexions qu'on peut
définir sur un fibré principal donné P=P(M,G). Il est facile de voir que le groupe
de jauge agit sur par ``pull-back''.
Soit 
, 
et 
. On définit alors
par
L'équivariance d'une connexion peut s'écrire, comme on le sait, en terme du potentiel de jauge,
sous la forme 
. Le second membre de cette égalité
peut encore s'écrire 
et la quantité dg + [A,g] apparaît comme
une différentielle covariante 
relative à la connexion choisie.
De la même façon, l'action du groupe de jauge sur l'espace des
formes de connexion s'écrit
Cette loi de transformation nous montre que l'ensemble de
toutes les connexions n'est pas un espace vectoriel mais un espace
affine. En géométrie
élémentaire, la différence de deux points est un vecteur de l'espace
vectoriel sous-jacent. Il en est de même ici. L'objet
est une 1-forme (équivariante) sur P, à
valeurs dans 
. L'espace vectoriel sous-jacent à l'espace affine est
donc 
. En particulier, notons que si 
et
désignent deux connexions, alors
.