Avant de donner une définition générale des vecteurs et
champs de vecteurs, définition qui pourrait sembler
assez abstraite de prime abord, nous souhaitons motiver
quelque peu cette définition. Le lecteur est déjà supposé
être familier de la notion élémentaire de vecteur, à savoir
une classe d'équivalence de bi-points parallèles et de
même sens, dans l'espace affine 
. Un champ de
vecteurs de , au sens élémentaire du terme, est donc
une application qui, à tout point de -considéré
comme espace affine- , associe un vecteur de
-considéré comme espace vectoriel. Intuitivement, on a
une ``flèche'' en tout point; on peut penser à l'exemple du
champ des vitesses d'un solide en mouvement, mais on peut
aussi penser au champ magnétique en tout point de
l'espace, etc. En physique - mais aussi, comme nous
allons le voir, en mathématiques - un vecteur peut être
considéré comme un ``petit déplacement''. Soit M une
variété différentiable, f une fonction différentiable
ainsi que P et Q deux points de M. Si M était un
espace affine (comme ), cela aurait un sens de
considérer la différence de Q et de P, puisque
cette différence définirait simplement le vecteur
. On pourrait aussi (mais on
peut de toutes façons) considérer la différence f(Q) -
f(P) des valeurs prises par f en Q et P. Dans le cas
de 
et lorsque Q (coordonnées x') tend vers P
(coordonnées x), le théorème des accroissement finis
(ou celui de Taylor) nous dit que
où les nombres 
ne sont autres que
les composantes du vecteur 
dans le repère où P et Q ont des composantes 
et
. Dans le cas des variétés, l'expression 
a encore un sens. En effet,
choisissons tout d'abord une carte, et notons v la
quantité 
.
Si x(P) sont les coordonnées de P dans le
domaine de la carte x, on pourra considérer la quantité
qui nous décrit la variation - au premier ordre - de f dans ce que nous avons envie d'appeler la direction v. La quantité précédente v[f] est elle-même une fonction, qui, lorsqu'elle est évaluée au point P nous fournit un nombre v[f](P).