La géométrie riemanienne de l'espace des orbites des connexions, modulo l'action du groupe de jauge,
est un sujet à la fois complexe et
fascinant. Notre but, dans ce dernier chapitre n'avait d'autre but
que d'entreb‰iller une porte 
Nous allons arrêter là notre escapade en dimension infinie, non sans
faire un clin d' 
il à la physique...bouclant ainsi la boucle.
En effet, on sait que dans les théories de jauge, deux connexions qui diffèrent par
une transformation de jauge décrivent la même situation physique. L'espace des
champs de Yang-Mills possibles, celui sur lequel on doit intégrer lorsqu'on fait de la théorie
quantique des champs ``à la Feynman'' est donc l'espace des orbites 
.
Par ailleurs, les champs de matière sont, comme on le sait, décrits par des sections
de fibrés E associés à un fibré principal P=P(M,G), mais le groupe de jauge
agit sur l'espace 
de ces sections et deux sections qui diffèrent par
l'action du groupe de jauge sont également physiquement équivalentes.
On en déduit que la physique des champs de Yang-Mills et des champs de matière
qui leur sont couplés
est en définitive décrite par la géométrie
de l'espace fibré
Une structure analogue existe lorsqu'on s'intéresse à la gravitation quantique et qu'on veut étudier l'espace des métriques qu'il est possible de définir sur une variété différentiable donnée. Le groupe de jauge est alors remplacé par le groupe des difféomorphismes de M. La situation est d'ailleurs plus complexe dans ce cas.
C'est donc de la géométrie différentielle en dimension infinie qu'il faut faire pour comprendre, du point de vue quantique, la structure des théories physiques décrivant les interactions fondamentales. Il n'est pas exclu que le traitement mathématique le plus adapté à cette étude de la géométrie en dimension infinie passe par une ``algébraïsation'' complète des techniques de la géométrie différentielle et au remplacement de celle-ci par la géométrie non commutative (voir chapitre suivant).