Lorsqu'on se donne un ``espace'' M (techniquement, un ensemble dont
les éléments sont surnommés ``points''), on sait construire l'algèbre
des fonctions sur M à valeurs réelles ou complexes. Cette algèbre
est commutative puisque multiplication et addition sont définies
ponctuellement comme suit: 
et 
. Lorsque notre
espace M est équipé d'une structure topologique, on sait construire
l'algèbre 
des fonctions continues et lorsque M est équipé d'une
structure différentiable, on sait construire l'algèbre
des fonctions différentiables.
Il est possible de complètement inverser cette démarche: en d'autres termes, il
est possible de partir d'une algèbre 
commutative, abstraitement
définie, et de fabriquer une espace M, tel que
s'identifie avec l'algèbre des fonctions sur M.
Nous allons maintenant préciser cette construction.
On se donne une algèbre de Banach, c'est à dire
une algèbre associative sur 
, munie d'une norme 
qui soit telle que 
et telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit un espace de
Banach (un espace vectoriel normé complet).
On appelle caractère de tout homomorphisme
non nul de vers le corps des complexes.
L'ensemble des caractères M s'appelle le
spectre de .
On suppose maintenant l'algèbre commutative.
On appelle transformation de Gelfand l'application
de dans l'algèbre commutative 
qui à 
associe 
,
défini, pour tout caractère 
de par
Résultat (sans démonstration) : est un homomorphisme
d'algèbre de Banach commutative.
Encore quelques définitions :
Une algèbre de Banach involutive est une algèbre de Banach munie d'une
étoile c'est à dire une
involution ( 
), anti-linéaire 
(pour 
) et
anti-multiplicative ( 
), telle que l'étoile
soit isométrique 
.
Une C - étoile algèbre, est une algèbre de Banach involutive
telle que, 
Théorème de Gelfand (sans démonstration) :
Lorsque est une C-étoile algèbre , la
transformation de Gelfand entre et l'algèbre 
des
fonctions contnues sur le spectre de est un isomorphisme.
En fait, on peut préciser davantage: lorsque est une
C-étoile algèbre commutative unitale (c'est à dire
avec unité), l'espace M est compact. D'une certaine façon, rajouter
une unité à une algèbre qui n'en a pas revient à compactifier
( via Alexandrov) son spectre.
Ce qui ressort de cette discussion, c'est le fait que s'intéresser à un espace (un ensemble de points)
ou s'intéresser à une algèbre commutative sont deux activités grosso modo
essentiellement équivalentes. En langage savant, on dit que la
transformation de Gelfand permet de définir un
foncteur réalisant une équivalence entre la catégorie des espaces topologiques
(compacts) et celle des 
algèbres commutatives (unitales).
Une algèbre non commutative ne peut pas être considérée comme une algèbre de fonctions (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace, puisque l'algèbre serait alors commutative. La ``géométrie non commutative'', au sens le plus large du terme, consiste souvent à re-écrire les diverses propriétés géométriques des ``espaces'' dans le langage des algèbres commutatives, c'est à dire sans utiliser la notion de point, puis à effacer, partout où cela est possible, le mot ```commutatif''. Ce faisant, on invente alors une nouvelle géométrie, celle des algèbres non commutatives. Les espaces non commutatifs n'existent donc pas, mais les algèbres qui les définissent, elles, existent bel et bien.
Du point de vue de la physique, il est pratique (et d'usage courant!)
de décrire notre environnement à l'aide de points (pensez à la tête du
voyageur à qui on dirait ``Voyez-vous ce caractère de la
C-étoile algèbre 
?'' au lieu de ``Voyez-vous ce
point à la surface de la Terre ?''). Cela dit, les deux points de vue
sont équivalents, et on passe d'un point de vue à l'autre à l'aide de la
superbe formule 
sur laquelle il est bon
de méditer...
A ce sujet, nous invitons le lecteur à relire le paragraphe de
l'Introduction intitulé ``Du classique au quantique''.