Dans le cadre commutatif, étant donné une variété M, nous avons
décrit, de façon détaillée, une algèbre différentielle graduée, en l'occurence,
celle, notée 
des formes différentielles: le ``complexe de
De Rham''. Cette algèbre est différentielle (puisque munie d'une
différentielle d) et différentielle graduée puisque d envoie
dans 
.
De plus, elle est telle que 
.
Comme nous le verrons un peu plus bas, le lecteur devrait se garder de croire
qu'il s'agit là de la seule possibilité.
Dans le cadre non commutatif, nous supposons donnée une algèbre associative 
,
unitale pour simplifier, mais non nécessairement commutative. va remplacer, dans la construction, l'algèbre commutative
, c'est à dire, ``philosophiquement'', l'espace M
lui-même. On veut pouvoir associer à une algèbre
différentielle graduée 
, qui co•ncide avec en
degré zéro. Les éléments de vont remplacer les formes
différentielles usuelles. On pourrait dire que ce sont des formes
différentielles quantiques .
Nous cherchons à fabriquer une algèbre différentielle graduée qui, en
degré zéro, coïncide avec . En fait, il existe de
nombreuses possibilités, chaque possibilité définit ce qu'on
appelle un calcul différentiel sur l'algèbre .
Cependant, une de ces possibilités est plus
générale que les autres, en un sens que nous allons préciser.
C'est celle qu'on désigne sous le nom d'algèbre 
des formes universelles.