par générateurs
et relations
. Désignons les éléments de
par des symboles 
. On introduit alors de nouveaux
symboles qu'on va désigner par 
. Attention, pour
l'instant, 
n'est pas (encore) un opérateur : le symbole doit être pris comme un tout : c'est une copie de l'élément
. L'espace vectoriel engendré par les symboles est
simplement une copie de l'espace vectoriel . Ensuite, on
fabrique des mots, en concaténant librement des éléments de (donc des ) et des éléments du type 
.
Ainsi 
est un mot. On décide alors d'additionner et
de multiplier librement ces mots de façon à ce que la structure
obtenue soit une algèbre. Jusque là, on n'obtient rien de très
palpitant : juste une algèbre ``libre'' engendrée par des symboles.
Pour finir, on va imposer des relations : celles de ,
tout d'abord, mais surtout, les deux suivantes (pour tout a,b
dans ) :
La première relation identifie deux éléments, jusque là différents, de
l'algèbre libre. L'ensemble obtenu est, par construction, una algèbre, qu'on note
. La dernière chose à faire consiste à introduire
l'opérateur noté , défini pour tout élément a de par 
et 
. L'algèbre
obtenue devient ainsi une algèbre différentielle.
On pourrait, bien entendu, formaliser la construction ci-dessus, en
terme d'idéaux et de relations, mais, le résultat est, somme toute,
très simple : on part des éléments a de et on
introduit des différentielles 
(attention, ce ne sont pas
des éléments de ) de façon à ce que la règle de
Leibniz (la règle de dérivation d'un produit) soit vérifiée.
Les règles ci-dessus permettent de re-écrire n'importe quel élément
de sous la forme d'une combinaison linéaire de
termes du type 
où tous les 
sont des éléments de
et où le seul élément qui n'est pas différentié ( 
) se
situe à gauche. En effet, par exemple
Cette remarque montre que 
, où 
est
l'espace vectoriel engendré par les termes du type
, avec 
. Ainsi, est
donc bien 
-graduée. Il est facile de vérifier, en utilisant
les règles précédentes que, pour 
et 
Le fait que l'algèbre différentielle soit
universelle vient du fait que, dans sa construction, nous n'avons
rien imposé d'autre que la règle de Leibniz ainsi que les relations
algébriques déjà présentes dans . Tout autre algèbre
différentielle construite sur contiendra donc
automatiquement des relations supplémentaires. Soit 
une autre algèbre différentielle, également associée à , on sait qu'il doit alors exister un morphisme 
de
dans 
, ce morphisme est simplement
défini sur les éléments de base, par
et étendu par linéarité sur toute l'algèbre .