par produit
tensoriel
comme un objet construit concrètement ``à partir'' de a et non comme un
symbole abstrait. Voici donc une seconde construction de l'algèbre
des formes universelles qui répond à ce souci.
Soit 
,
l'opérateur de multiplication 
.
Posons 
On décide de noter (prenons a et b dans 
):
Ainsi, 
apparait comme une sorte de différence discrète
(nous verrons un peu plus loin comment, dans l'exemple où désigne une
algèbre de fonctions sur une variété comment ceci est explicitement
réalisé). Plus généralement, nous poserons :
Soit 
l'espace vectoriel engendré par les
éléments de 
du type 
.
Notons que appartient au noyau de l'opérateur de
multiplication 
. Plus
généralement, il est évident que les éléments de Ker(m) sont des
combinaisons linéaires d'éléments de ce type. En d'autres termes, on a
On pose alors
et plus généralement
Notons que 
est inclus dans la (p+1)-ième puissance
tensorielle de (bien noter cette translation d'une unité!)
Attention : le produit tensoriel est
pris au dessus de et non pas au dessus du corps
des scalaires! Cela signifie, en clair, la chose suivante:
Considérons le produit de l'élément
par
l'élément 
. Ce produit, pris dans 
est l'élément
de 
tandis que le produit dans 
est un élément de 
, en
l'occurence, il s'agit de
L'écriture explicite de 
en
termes de produit tensoriels contient donc un unique terme 
et une somme alternée d'autres
termes, chacun d'entre eux contenant l'unité de l'algèbre ainsi
qu'un unique produit du type 
. On pourrait
également partir de cette dernière écriture
explicite pour définir l'algèbre . Noter
que la multiplication, lorsqu'on écrit
explicitement les éléments de cette algèbre en termes de produits
tensoriels, s'écrit explicitement en concaténant les différents
termes et en effectuant la multiplication dans .