Dans le cas des variétés, il est clair que les vecteurs ne peuvent pas être définis comme des bi-points (ou des classes d'équivalences de bi-points), par contre, rien ne nous empêche d'utiliser leur propriété de machine-à-fabriquer-des-dérivées-partielles pour les définir de façon générale. Dans le domaine d'une carte x, un champ de vecteurs sera donc défini comme un opérateur de différentiation d'ordre 1 à savoir
Cet opérateur
agit sur les fonctions 
pour donner
d'autres fonctions (puisque 
).
Le champ de vecteurs v ainsi
défini est indépendant de la carte choisie.
L'opérateur
différentiel d'ordre 1 noté 
est un champ de vecteurs car les 
sont des
fonctions sur M alors que 
est un vecteur au point P, de composantes
.
En géométrie élémentaire des courbes, la
tangente en P à une courbe (différentiable) est définie
comme limite des sécantes PQ lorsque Q tends vers P;
cela signifie que les vecteurs 
tendent vers un vecteur tangent à la courbe. En géométrie
des variétés différentiables, on pourrait faire de même,
à condition de plonger notre variété (par exemple la
sphère usuelle 
) dans un espace plus grand (par
exemple 
) et voir ainsi, un vecteur de comme
un vecteur tangent à la sphère (et donc ``sortant'' de
celle-ci); mais une telle contrainte serait précisément
contraire à l'idée même du calcul intrinsèque sur les
variétés, calcul qui se veut, justement, indépendant de
l'existence de plongements possibles. La définition
adoptée précédemment est bien indépendante de la
présence d'un espace affine ambiant, mais il est
néanmoins commode, pour l'intuition, de visualiser nos
vecteurs de façon élémentaire et d'adopter une
terminologie qui nous rappelle des situations bien
connues. Pour ces raisons, un vecteur de la variété M
en un point P est souvent appelé vecteur tangent en
P, l'ensemble de ces vecteurs se note T(M,P) ou
encore 
et est désigné sous le nom de espace
tangent à M en P ; on a donc un espace tangent en
chaque point de la variété. L'ensemble des vecteurs eux-mêmes
(tous les vecteurs), se note T(M) ou simplement TM
et est appelé l'espace tangent à M ou encore, pour une
raison qu'on expliquera ultérieurement le fibré tangent
à M (``tangent bundle''). Un élément de TM est donc la donnée
(P,u) d'un
point de M et d'un vecteur en ce point. Attention, il
faut bien distinguer les notions de vecteur en un point et
de champs de vecteurs (mais nous allons très souvent
oublier cette distinction). L'ensemble des champs de vecteurs se note
. Notons que cet espace est un espace
vectoriel (de dimension infinie), et T(M,P) est
un espace vectoriel de dimension n (supposant que M est
elle-même de dimension n), alors que TM n'est pas un
espace vectoriel du tout (on ne peut pas additionner un
vecteur en P avec un vecteur en Q!). On verra que TM, que l'on peut
considérer comme une
collection d'espaces vectoriels paramètrisés par les
points de M, possède la structure d'espace fibré
vectoriel (cette structure sera définie et étudiée plus
loin). Notons que l'espace TM est lui-même une
variété différentiable. Supposons que M soit une variété
de dimension n, un point P de M est en effet caractérisé
(dans une certaine carte) par n composantes 
et
un ``point'' (c'est à dire un élément) de TM
consistera en la donnée d'un couple 
c'est à dire 2n nombres (n nombres et
n composantes du vecteur u dans une base
choisie de l'espace vectoriel T(M,P). Ainsi TM est
une variété de dimension 2n. Intuitivement, on peut se
représenter par exemple 
comme la donnée d'une
infinité de plans tangents collés à la sphère; il s'agit,
dans ce cas d'une variété de dimension 4.