Soit M une variété différentiable, ou même, un ensemble
absolument quelconque. On peut alors construire l'algèbre
commutative des fonctions sur M (bien entendu, lorsque M est un
espace topologique, ou une
variété différentielle, on peut choisir les fonctions continues, les fonctions
différentiables etc). Notons
encore 
cette algèbre, sans préciser davantage.
La construction de 
reste valable, puisque nous
n'avons rien eu a supposer d'autre que l'associativité de l'algèbre .
Considérons l'élément
Puisque les éléments de sont des fonctions sur M (des
fonctions d'une variable 
) les
éléments de 
sont des fonctions
de deux variables:
Cette fonction, comme, il se doit, s'annulle lorsqu'on pose x=y,
puisque l'opérateur de multiplication 
, dans le cas présent,
peut s'écrire sous la forme m(a(x)b(y))=a(x)b(x). Ainsi,
est constitué de l'ensemble des fonctions de
deux variables sur l'espace M, qui s'annulent sur la diagonale.
Remarque : lorsque M est discret, il est d'usage d'identifier,
comme nous venons de le faire,
l'algèbre des fonctions 
du produit cartésien
de l'espace M par lui-même avec l'algèbre produit tensoriel 
. Lorsque M est un espace topologique
(en particulier une variété), on n'a, en général, qu'une inclusion stricte
de 
dans 
, et il faudrait tenir compte de la topologie utilisée pour
pouvoir préciser davantage. Nous ne tiendrons pas compte de cette
subtilité topologique dans ce qui suit.
Considérons maintenant un élément de 
:
Cet élément peut donc s'interpréter comme une fonction de trois variables, qui s'annulle lorsque x = y ou lorsque y = z (mais pas lorsque x = z).
Plus généralement, les élements de 
peuvent
être considérés comme des fonctions de p+1 variables qui s'annulent lorsque deux arguments
successifs sont égaux.
On voit que 
désigne bien ici la différence
discrète b(y) - b(x). Lorsque M est une variété différentiable, on
peut faire tendre y vers x et obtenir ainsi la forme
différentielle usuelle 
.
La théorie générale s'applique évidemment dans ce cas particulier:
est une algèbre différentielle universelle
mais il existe par ailleurs une algèbre de formes différentielles
que nous connaissons bien (le complexe de De Rham),
il existe donc un morphisme 
de la première algèbre sur la
seconde. Ce morphisme envoie 
(dans le cas présent 
) sur la forme différentielle 
.
Notons que le noyau de ce morphisme est très gros. D'une part, on
sait que lorsque p > dim (M), 
, alors que
n'est jamais nul (quel que soit p). Par
ailleurs, même si 
il est facile de trouver des
éléments de 
qui s'envoient sur zéro: par
exemple, l'élément 
n'est
certainement pas nul dans 
, alors que
est nul dans
.