L'exemple qui nous venons de considérer montre bien que l'algèbre
différentielle de De Rham, dont nous avons l'habitude, est loin
d'être la seule possible, même dans le cadre commutatif, lorsqu'on
veut définir un calcul différentiel. L'inconvénient de l'algèbre des
formes universelles, c'est qu'elle est généralement très (trop)
``grosse'' et peu maniable...Cela dit, il est des cas, même commutatifs, où
l'algèbre de De Rham n'est pas utilisable -- par exemple lorsque M
n'est pas différentiable -- et il est bien pratique de pouvoir faire
appel à la dernière construction. Un autre cas interessant est celui d'une
variété M qui n'est pas connexe: on peut alors, bien sur, faire du
calcul différentiel ``à la De Rham'' sur chaque composante connexe,
mais, ce faisant, on perd de l'information, car les formes
universelles non nulles du type 
où x et y
appartiennent à deux composantes connexes distinctes n'ont aucune
correspondance dans l'algèbre de De Rham. Pour illustrer ce
phénomène, qui se trouve posséder une interprétation physique aussi bien
inattendue que capitale, nous allons choisir l'exemple d'un espace
non connexe extrêmement simple : celui fourni par la donnée de deux
points. Dans ce cas, les 1-formes usuelles (celles de De Rham)
n'existent pas. Par contre, on va pouvoir construire et utiliser
l'algèbre des formes universelles 
.
Considérons donc un ensemble discret 
constitué de deux éléments
que nous désignons par les lettres L et R (penser a Left
et Right). Soit x la fonction coordonnée 
et y la fonction coordonnée 
. Remarque: xy=yx=0, 
and 
où 
est la fonction unité 
. Un élément quelconque
de cette algèbre associative (et commutative) 
engendrée
par
x et y peut s'écrire 
(où 
et
sont deux nombres complexes) et peut être représenté par une
matrice diagonale 
.
On peut écrire 
. L'algèbre est donc isomorphe à .
Nous introduisons maintenant deux symboles 
,
ainsi qu'une différentielle 
qui
satisfait à 
, qui doit satisfaire à
et à la règle habituelle de dérivation d'un
produit (règle de Leibniz).
Il est évident que 
, l'espace des
différentielles de degré 1 est engendré par les deux quantités
indépendantes 
and 
. En effet, la relation 
implique 
; de plus, les relations 
and 
impliquent 
, donc 
and 
. Ceci impliqe
également, par exemple, 
,
, 
, 
etcPlus généralement, désignons par
, l'espace des différentielles de degré p; les relations
ci-dessus montrent qu'une base de cet espace vectoriel est fourni par
les éléments
. Posons 
et 
. L'espace 
est une algèbre: On peut multiplier les formes
librement, mais il faut tenir compte de la règle de Leibniz, par
example 
.
Attention: l'algèbre est de dimension infinie, comme il se
doit puisque p parcourt toutes les valeurs de 0 à l'infini.
Bien entendu, la différentielle obéit à la règle de
Leibniz lorsqu'elle agit sur les éléments de mais elle obéit à la règle de
Leibniz graduée lorsqu'elle agit sur les éléments de , en
l'occurence
où 
désigne 0 ou 1 suivant que 
est pair ou impair.
Dans le cas particulier de la géométrie d'un ensemble à deux points,
nous retrouvons le fait qu'un élément A de
considéré comme fonction de deux variables doit obéir aux contraintes
A(L,L)=A(R,R)= 0 et peut donc être écrit comme une matrice 
indexée par L et R dont les éléments non diagonaux sont
nuls (``matrice hors diagonale''). Un élement F de 
peut être
considéré comme fonction de trois variables obéissant aux contraintes
F(L,L,R)=F(R,R,L)=F(L,R,R)=F(R,L,L)=F(R,R,R)=F(L,L,L)=0.
Les deux
seules composantes non nulles sont donc F(L,R,L) and F(R,L,R). Le
fait que
pour tout p suggère la possibilité d'utiliser
des matrices de taille fixe (en l'occurence des matrices
) pour toutes valeurs de p.
Ceci ne serait pas le cas pour
une géométrie à plus de deux points. En effet,
on peut aisément généraliser la construction précédente, par exemple
en partant de trois points au lieu de deux. Mais dans ce cas,
est de dimension 6 et
de dimension 12. Avec q points, la dimension de
est 
. Ce dernier résultat vient du fait que
. On a donc 
.
Pour revenir au cas de la géométrie à deux points, nous voyons qu'il est possible de
représenter 
comme une matrice diagonale
et l'élément 
comme la matrice
``hors'' diagonale 
Autrement dit nous pouvons représenter les formes paires par des
matrices paires (i.e. diagonales) et les formes impaires
par des matrices impaires (i.e. ``hors'' diagonales);
ceci est non seulement naturel mais obligatoire
si on veut que la multiplication des matries soit compatible
avec la multiplication dans . En effet, les relations
montrent que cette
representation utilisant des matrices
est effectivement un homomorphisme d'algèbres 
graduées, de
(gradué par la parité de p) dans l'algèbre des marices complexes
(avec graduation associée avec la décomposition d'une matrice
en une partie diagonale et hors diagonale).
La présence du facteur i dans les matrices hors diagonales
representant les éléments impairs est nécessaire pour que les deux
types de produits soient compatibles. L'algèbre
s'obtient en effectuant la somme directe des espaces
vectoriels . Comme on l'a dit,
l'algèbre est donc de dimension infinie
mais si nous représentons toute l'algèbre
à l'aide de matrices agissant sur un espace
vectoriel fixé de dimension 2, la p-graduation est perdue et seule
la graduation 
est conservée.
Nous verrons un peu plus loin qu'il est possible, en géométrie
non commutative, de donner un sens à la notion de connexion.
Dans le cas le plus simple, la forme de connexion A n'est autre qu'une
forme de degré 1 appartenant à une algèbre différentielle
associée à l'algèbre associative choisie.
On verra que la courbure F, dans ce cas, peut également
s'écrire comme 
.
Dans le cas présent, 
. Une forme de degré 1 est un élément de
. Prenons 
. La représentation matricielle de A se lit donc
La courbure correspondante est alors 
, mais 
et 
. F peut
donc s'écrire aussi
Nous pouvons choisir un produit hermitien sur en décidant que
la base 
est orthonormale. Alors 
. Le lecteur familier des
théories de jauge avec brisure de symmétrie reconnaitra ici un
potentiel de Higgs translaté 
.
(voir figure 6.1).
Notre calcul différentiel, dans le cas présent, est commutatif, puisque
l'algèbre des fonctions sur un espace à deux points est simplement
l'algèbre des matrices diagonales avec des coefficients
complexes (ou réels) mais notre calcul différentiel est, en un sens,
``non local'' puisque la ``distance'' entre les deux points étiquetés
par L et R ne peut pas tendre vers zéro...
Le lecteur aura sans doute remarqué que ces résultats peuvent
s'interpréter en termes de champs de Higgs. Nous y reviendrons
(exemple poursuivi en 6.2.4).
