et
En utilisant la règle de Leibniz, on voit qu'un produit quelconque
d'éléments de a et de différentielles (du type da) peut se
réordonner sous la forme d'une somme de termes du type
. Cela dit, il y a une petite subtilité :
avec la définition que nous avons adoptée, il n'est pas clair que
tout élément de 
puisse s'écrire comme une
somme finie d'éléments de ce type. Ceci conduit à
introduire la définition suivante : on pose 
où
est le sous-espace vectoriel de
constitué des sommes
finies du type 
. On démontre alors
[6] que 
est la plus petite
sous algèbre différentielle graduée de 
contenant 
.
En général, on peut oublier cette distinction entre 
et
. Dans le cas de la géométrie des variétés (variétés connexes ou réunion dénombrables de
variétés connexes), on peut démontrer
que les deux notions coïncident lorsque la variété M est
paracompacte. Cela qui revient à dire que la variété admet une base
topogique dénombrable...(et dans ce cas elle admet également un atlas
comprenant au plus une infinité dénombrable de cartes). Pour des
variétés paracompactes, donc (hypothèse qu'on fait presque toujours!),
les deux notions coïncident et coïncident évidemment avec l'algèbre
des formes différentielles usuelles (ceci découlant immédiatement de
l'identité entre les définitions ci-dessus et celles qu'on peut
trouver en 1.6.2). Lorsque l'algèbre n'est pas
commutative, on aura également les deux possibilites:
et
qui peuvent coïncider ou non. Le cas le moins
``sauvage'' est évidemment celui où les deux notions coïncident
(analogue non commutatif du cas paracompact). Dans la suite de cette
section, on supposera que c'est le cas.