,
que 
(champs de vecteurs) et que
(formes
différentielles usuelles).
. Il est bien connu
que toutes les dérivations de cette algèbre sont intérieures, c'est
à dire qu'elles sont obtenues en calculant des commutateurs avec une
matrice donnée. Cela dit, prendre un commutateur avec une matrice X
ou prendre un commutateur avec une matrice 
donne le
même résultat. On peut donc décider de normaliser en fixant la trace de
X à zéro. L'ensemble des matrices 
de trace nulle
coïncide, on le sait (cf chapitre 2) avec l'algèbre de Lie de
.
On voit que 
. Les éléments de
sont donc les n formes
(antisymétriques) sur 
à valeurs dans l'algèbre 
elle-même, c'est à dire dans 
. On peut finalement écrire
. Nous ne
détaillerons pas cet exemple (voir [6]). Le résultat est assez
intuitif et s'obtient à partir des deux cas précédents :
et
. Cet exemple a été utilisé pour la construction
de certains modèles physiques généralisant les théories de jauges usuelles
(voir [10])
Remarque: il existe des algèbres très simples qui n'admettent pas de dérivations...par exemple l'algèbre des nombres complexes! Dans ce cas, la construction qu'on vient d'exposer ne donne rien (bien que l'algèbre des formes universelle soit néanmoins non triviale).