Soient 
et 
deux algèbres associatives
(commutatives ou non). Il est certain que l'algèbre des formes
universelles pour l'algèbre 
n'est pas
isomorphe au produit tensoriel gradué des algèbres universelles de
et séparément.
En effet, par exemple, 
alors que
Cependant, 
et 
sont toutes deux des algèbres différentielles
-graduées dont le terme de degré zéro coïncide avec 
.
La première étant universelle, il existe donc un morphisme
surjectif de la première sur la seconde.
Supposons maintenant que qu'on s'intéresse à une variété non connexe
obtenue comme réunion (disjointe) de plusieurs copies (deux pour
simplifier) d'une même variété connexe M. On se retrouve donc dans la
situation précédente avec 
et
. En effet
L'algèbre différentielle 
est encore peu commode à utiliser (on se souvient que
les éléments de 
sont des fonctions de plusieurs
variables qui s'annulent lorsque deux arguments successifs sont
égaux). Par contre, rien ne nous interdit de remplacer cette
dernière par l'algèbres des formes différentielles usuelles 
.
On obtient ainsi le diagramme suivant, où chaque flèche désigne
un morphisme surjectif d'algèbres différentielles graduées :
L'algèbre
produit tensoriel gradué du complexe de De Rham usuel par l'algèbre
des formes universelles sur l'espace à deux points 
,
est une algèbre différentielle intéressante à plus d'un titre et très
facile à utiliser. Elle a été étudiée dans [12] et utilisée auparavant dans [11].
Sa structure s'obtient immédiatement à partir de notre étude de
. On se souvient que
est toujours de dimension 2 et
représentable, soit à l'aide de matrices 
diagonales
(lorsque p est pair) soit à l'aide de matrices 
hors
diagonales (lorsque p est impair). Les éléments de
peuvent donc s'écrire à l'aide de matrices dont les
éléments sont des formes différentielles usuelles sur la variété M (de degré p
variant de 0 à n) et positionnées soit sur la diagonale (quand
p est pair) soit en dehors de la diagonale (lorsque p est impair).
Le produit dans 
s'obtient immédiatement à partir du produit
extérieur dans et du produit déjà étudié dans .
On peut finalement encore généraliser la construction précédente en
remplaçant l'algèbre des
formes différentielles sur la variété M par l'algèbre des
formes différentielles sur M à valeurs dans l'algèbre (associative)
des matrices 
complexes.
On pourrait ici continuer notre exemple des connexions sur , en choisissant cette fois-ci pour forme de connexion un
élement quelconque de 
. La norme carré de la courbure
s'interprète alors physiquement comme le lagrangien d'un modèle de
jauge 
, avec potentiel de Higgs et symmétrie
brisée. Un des deux champs de jauge devient massif (le boson
) et l'autre reste sans masse (le photon).