L'algèbre différentielle

  La construction qui suit est un peu plus élaborée que les précédentes, en ce sens qu'elle utilise un plus grand nombre d'ingrédients. On a vu que la construction de l'algèbre des formes différentielle universelle était possible, pour une algèbre associative quelconque . L'algèbre différentielle , quant à elle, fait jouer un rôle particulier aux dérivations de (pour autand qu'elles existent). L'algèbre différentielle que nous allons présenter maintenant, et dont la construction est due à A. Connes, repose sur la donnée d'un ``triplet spectral'', donnée qui englobe, non seulement l'algèbre associative elle-même, mais également d'autres données qui peuvent être considérées comme le codage d'une structure riemanienne non commutative. Certains rappels et/ou constructions annexes sont nécessaires.

Dans l'approche traditionelle de la géométrie différentielle, on commence par se donner un espace M (on peut alors parler de l'algèbre des fonctions sur M), on le munit tout d'abord d'une topologie (on peut alors parler de l'algèbre des fonctions continues sur M), puis d'une structure différentiable (ce qui revient à choisir une sous-algèbre particulière incluse dans dans ), puis d'une structure riemanienne (choix d'une métrique), puis d'une structure spinorielle (si la variété le permet), on construit alors le fibré des spineurs, puis l'opérateur de Dirac relatif à la métrique choisie et agissant sur les champs de spineurs (sections du fibré des spineurs). Dans le cas d'une variété compacte et d'une métrique proprement riemanienne, on peut alors fabriquer un produit scalaire global et un espace de spineurs (l'espace des champs de spineurs de carré intégrable). Dans le cas où la variété est de dimension paire, on peut également décomposer cet espace de Hilbert en deux sous-espaces supplémentaires correspondant à des demi-spineurs de chiralités opposées, l'opérateur de Dirac allant d'un sous-espace à l'autre (on rappelle que cet opérateur anti-commute avec l'opérateur de chiralité).

Tout ceci est maintenant bien connu du lecteur (voir chapitres précédents). L'approche ``à la A. Connes'' [3] de la géométrie non commutative consiste à ``renverser la vapeur'' en écrivant tout ceci à l'envers, et sous forme algébrique (en utilisant des algèbres commutatives), puis de promouvoir l'essentiel de ces transcriptions au rang de définitions, en effaçant l'adjectif ``commutatif''.

La théorie se divise alors en deux : il existe un cas dit ``pair'' et un cas dit ``impair''. Nous allons simplement ébaucher la discussion du cas pair, cas qui généralise au cas non commutatif la géométrie associée à la donnée d'un opérateur de Dirac sur une variété de dimension paire. On se donne un triplet possédant les propriétés suivantes : est un espace de Hilbert gradué (l'opérateur de graduation est alors appelé opérateur de chiralité), est une algèbre associative munie d'une involution (*) et représentée fidèlement dans à l'aide d'opérateurs bornés pairs, et D est un opérateur auto-adjoint tel que les commutateurs soient bornés; on impose également à la résolvente d'être un opérateur compact.

Un tel triplet est appelé triplet spectral   mais on pourrait peut-être, de façon plus imagée, le désigner sous le nom d'espace riemanien quantique . Dans le cas de la géométrie commutative, coïnciderait avec la complexifiée de l'algèbre , avec l'espace de Hilbert des champs de spineurs de carré intégrable, et D avec l'opérateur de Dirac lui-même.

Dans le cas classique (commutatif), si on n'impose pas de propriété de compacité pour la résolvente de D, l'algèbre (qui est telle que les commutateurs de ses éléments avec D soient bornés) n'est autre que l'algèbre des fonctions Lipschitziennes sur M, c'est à dire celle dont les éléments sont tels que .

Dans ce cadre commutatif, il se trouve qu'il est en fait possible de retrouver la distance riemanienne d(x,y) entre deux points quelconques x et y de M à partir de ces données. En effet, on montre que

Le concept de distance, qu'on relie d'habitude à un procédé de minimisation entre différents points est alors obtenu grâce à un procédé de maximisation pour les fonctions définies sur ces points.

Nous avons maintenant tout ce qu'il nous faut pour construire l'algèbre différentielle . Nous savons déjà construire l'algèbre des formes universelles . Soit , une n-forme universelle (un élément de ). Nous lui associons l'opérateur borné

Il est facile de vérifier que cette application est une représentation de l'algèbre dans l'algèbre des opérateurs bornés sur l'espace de Hilbert (on se souvient que est, par hypothèse, représenté dans ). Ceci vient du fait que la dérivation d'algébre d est représentée par l'opération qui est elle-même une dérivation. La première est de carré nul, mais ce n'est malheureusement pas le cas de la seconde. En d'autres termes, la représentation n'est pas une représentation d'algèbre différentielle. Il est cependant facile de remédier à cela. Soit K le noyau de ; c'est un idéal de , puisque est une représentation d'algèbre. Mais K n'est pas en général un idéal différentiel : n'est pas dans K. On pose alors . Par construction J est alors un idéal différentiel. On pose alors

Par construction, l'algèbre obtenue est bien une algèbre différentielle. On peut finalement la regraduer en considérant les intersections de avec l'algèbre universelle. La construction est donc achevée et on démontre que, dans le cas classique (où ), l'algèbre différentielle -graduée obtenue est isomorphe au complexe de De Rham , c'est à dire à l'algèbre des formes différentielles usuelles.

Nous n'irons pas plus avant dans cette direction. Le lecteur interessé pourra consulter une litérature plus spécialisée. Cela dit, il est peut-être important de signaler ici que les constructions mathématiques présentées dans cette section -- et même dans le présent chapitre -- sont souvent récentes, ce qui signifie que les définitions et constructions proposées n'ont peut être pas encore suffisemment bénéficié du mûrissement nécessaire. Cela ne signifie pas qu'elles sont erronées mais...elles n'ont peut être pas atteint le même degré de stabilité temporelle que les autres concepts présentés auparavant dans cet ouvrage.