Soit v un champ de vecteurs. Il pourra donc s'écrire
localement (c'est à dire dans une certaine carte)
. Si f et g
désignent deux fonctions sur M, il est clair que
Par conséquent on aura plus généralement:
On retrouve la règle usuelle de dérivation d'un produit.
De façon générale, si 
est une algèbre
associative, on dit que v est une dérivation, lorsque v
est une application linéaire (un ``opérateur'') de A
dans A telle que v[f g] = v[f] g + f v[g] avec 
. Les champs de vecteurs sont des
dérivations de l'algèbre associative (et commutative)
. On pourrait d'ailleurs les
définir directement par cette propriété. En d'autres
termes, 
.