En vertu de la dualité existant entre un espace M et l'algèbre commutative C(M) des fonctions sur cet espace (la correspondance précise a été donnée plus haut), on peut essayer de re-écrire toutes les mathématiques traitant des propriétés des ``espaces'' dans le langage purement algébrique de la théorie des algèbres commutatives. On peut essayer, également, de re-exprimer tous ces concepts d'une façon qui ne fasse pas explicitement appel à la commutativité de l'algèbre. Bien entendu, ce n'est pas toujours possible, mais, lorsque c'est le cas, on peut alors effacer l'adjectif ``commutatif'' et promouvoir le concept en question au niveau (par exemple) d'une définition, valable pour les algèbres non commutatives, en général. D'une certaine façon, on pourrait voir les mathématiques non commutatives simplement comme une étude des algèbres associatives non commutatives. Un tel point de vue ne correspondrait cependant pas à la démarche psychologique adoptée : c'est en effet la géométrie ordinaire -- plus précisemment la notion de point -- qui est souvent choisie comme support de notre intuition; les thèmes qui intéressent la géométrie non commutative sont précisemment les propriétés des algèbres non commutatives qui généralisent les propriétés des espaces ``ordinaires'', même si les points n'existent plus. De cette façon, on peut alors construire une théorie de la mesure non commutative, une topologie non commutative, un calcul différentiel pour les algèbres non commutatives (voir supra), une théorie des connexions, des espaces fibrés (non commutatifs) et même une généralisation de la théorie des groupes (la théorie des groupes quantiques). Notre propos n'est pas ici de détailler et d'étudier toutes ces théories, mais simplement d'illustrer les considérations qui précèdent et d'effectuer un tour rapide de ce zoo non commutatif, en espérant que le lecteur aura plaisir à y retourner en consultant la littérature spécialisée. L'ouvrage présent étant essentiellement dédié à l'étude de certains aspects de la géométrie différentielle, nous avons décidé de consacrer néanmoins la section précédente à une étude un peu plus détaillée des notions relatives aux calculs différentiels non commutatifs. Pour le reste, notre étude ne sera guère plus qu'une ébauche.