Nous avons déjà parlé de la transformation de Gelfand établissant une
correspondance entre espaces topologiques compacts et 
-algèbres
commutatives unitales (l'existence d'une unité est liée à l'hypothèse de compacité).
On voit donc, en enlevant l'adjectif ``commutatif'' que la topologie non commutative n'est autre que l'étude des
-algèbres non commutatives.
Passons à la théorie de la mesure. Classiquement, au lieu de démarrer
avec un espace topologique M, on peut partir de l'algèbre C(M) des
fonctions continues sur M et définir les mesures (positives) comme
les formes linéaires continues (positives) sur l'algèbre C(M), c'est
à dire comme des fonctionelles 
telles que 
. La correspondance avec la notion
élémentaire de mesure se fait grâce au théorème de Riesz, c'est à
dire en écrivant 
. A partir de
C(M), nous définissons les mesures; pour une mesure donnéee,
nous pouvons fabriquer l'espace de Hilbert 
des fonctions de carré intégrable pour cette mesure.
C(M) agit dans cet espace de Hilbert 
par
multiplication: nous avons une représentation 
définie par 
, avec 
et 
.
A partir de , nous pouvons fabriquer l'algèbre
des fonctions mesurables essentiellement bornées
sur M. Soit 
l'algèbre des opérateurs
bornés sur . Rappelons que l'algèbre 
peut être construite comme le
commutant de l'action de C(M) dans 
La mesure peut alors être étendue à l'algèbre
tout entière.
Cette dernière algèbre possède la propriété
remarquable d'être égale à son propre commutant dans (cette propriété permet caractérise précisemment un type de
sous-algèbres de qu'on appelle algèbres de Von
Neumann ).
Tout ce qu'on vient de rappeler figure -- peut être dans un ordre
différent -- dans un cours standard de
théorie de la mesure. Le trait essentiel, dans la présentation qui
précède est de ne pas faire intervenir les points de l'espace M.
En recopiant tout ceci, mais en effaçant l'adjectif
``commutatif'', on peut alors inventer une version non
commutative de la théorie de la
mesure...Soit dit en passant, les physiciens
théoriciens ont inventé la plupart de ces différents concepts, dans le cadre de la mécanique
statistique quantique, bien avant qu'ils aient été formalisés par
des mathématiciens!
Reprenons donc rapidement ce qui précède, en partant d'une -algèbre non
commutative 
, remplaçant la donnée de C(M).
On définit les états (ce sont précisemment des mesures non
commutatives) comme ci-dessus : un état est une forme linéaire
positive continue sur , c'est à dire 
et 
. On
peut supposer normé : 
. On construit alors un
espace de Hilbert en définissant tout d'abord le
produit scalaire 
sur l'espace
lui-même (on n'a alors qu'une structure pre-Hilbertienne) puis en
fabriquant l'espace de Hilbert correspondant (complété et séparé).
Cette construction bien connue porte le nom -- en mathématiques non
commutatives -- de construction GNS
(Gelfand-Naimark-Segal) .
Comme dans le cas commutatif, agit dans
par multiplication, ce qui fournit une représentation de dans l'espace des opérateurs bornés . On
considère alors 
, le bi -commutant de dans . Ce bi-commutant est une algèbre de Von
Neumann (il est égal à son propre bi-commutant); c'est donc l'analogue non
commutatif de . 
Rappel: lorsque est une algèbre
d'opérateurs, , 
et 
sont d'ordinaire différents, mais 
.
La dernière étape consiste à étendre la définition de l'état à
l'algèbre de Von Neumann tout entière (on a évidemment 
).
La théorie que l'on vient d'ébaucher est à la base de très nombreux développements, aussi bien en mathématiques (théorie des facteurs), qu'en physique (mécanique quantique statistique des systèmes avec nombre fini ou infini de degrés de liberté). Notre but, comme nous l'avions anoncé plus haut, n'était que d'attirer l'attention du lecteur sur le parallèle évident existant entre ces deux théories : théorie de la mesure (en fait mesures de Radon) et théorie des algèbres de Von Neumann; l'un étant en quelque sorte la généralisation non commutative de l'autre.