En géométrie différentielle ordinaire, un espace fibré principal peut être considéré comme un simple outil servant à la fabrication de fibrés associés (de la même façon que les groupes eux-mêmes servent à fabriquer des représentations). En géométrie non commutative, on pourrait, bien sur, tenter de généraliser dans un premier temps la structure de groupe elle-même (c'est la théorie des groupes quantiques), puis la structure de fibré principal, et enfin celle de fibré associé. Ces généralisations existent. Cependant la définition et l'étude des groupes quantiques (ou algèbres de Hopf) nous entrainerait trop loin. Nous préférons donc suivre ici une approche plus directe, qui n'utilise pas cette notion.
Nous partons de la constatation suivante : en géométrie différentielle
ordinaire, l'ensemble 
des sections
d'un fibré associé E (les champs de matière de la
physique) constitue un module sur l'algèbre 
des fonctions sur la base.
Par exemple, si 
est un champ de tenseurs (ou
de spineurs ...), et si 
(ou 
) est
une fonction, alors 
est aussi un champ de
tenseurs (ou de spineurs etc...).
Ce n'est pas la notion d'espace fibré vectoriel associé que nous allons
généraliser, mais celle de l'ensemble de ses sections.
Etant donné une algèbre associative 
, possiblement
non commutative, nous allons donc considérer tout module 
sur comme l'analogue non commutatif d'un fibré vectoriel associé.
En fait, dans le cas commutatif, les modules obtenus par
construction de fibré associé sont d'un type un peu particulier. On dit
qu'ils sont projectifs de type fini (théorème de Serre-Swann).
Sans rentrer dans les détails, cela signifie la chose suivante.
L'ensemble des sections d'un fibré vectoriel trivial dont la fibre
type est de dimension n est
manifestement isomorphe au module 
. Lorsque le fibré
n'est pas trivial, il suffit de se placer dans un espace un peu plus grand
(c'est à dire de rajouter un certain nombre de dimensions à la fibre) pour le trivialiser.
Le fibré de départ est alors obtenu comme 
,
p désignant un projecteur
( 
) de l'algèbre des matrices 
sur .
Dans le cadre non commutatif, on remplacera donc la notion d'``espace
des sections d'un fibré vectoriel'' (physiquement l'espace des
champs de matière d'un certain type) par la notion de module
projectif fini sur une algèbre associative . L'espace
vectoriel 
, p désignant un projecteur, est manifestement un module (à droite) sur .
Si n'est pas commutative, il faut évidemment faire la distinction
entre les modules à droite et les modules à gauche.
Notons, pour finir, qu'un cas intéressant de module sur
est celui où on choisit un module particulier égal à l'algèbre
elle-même opérant sur elle-même par multiplication (c'est l'analogue non commutatif d'un fibré en droites).