Soit 
un calcul différentiel sur une algèbre 
,
c'est à dire une algèbre différentielle 
-graduée, avec
. Soit 
un module à droite sur
.
Une différentielle covariante 
sur est une
application
telle que
lorsque 
et
. L'opérateur
n'est certainement pas linéaire par rapport à l'algèbre mais il est facile de constater que la courbure 
est
un opérateur linéaire par rapport à .
Dans le cas particulier où l'on choisit le module
comme l'algèbre elle-même, toute 1-forme
(tout élément de
) permet de définir une différentielle covariante: on pose
simplement
où 
est l'unité de l'algèbre
.
Lorsque 
, on obtient
De plus, 
. La
courbure, dans ce cas, est égale à
Choisissons u, un élément inversible de et agissons
avec d sur l'equation 
. On obtient (utilisant le fait que
) l'equation
Définissons également 
et calculons la nouvelle courbure 
. On obtient immédiatement 
où
Ceci montre que les formules usuelles sont valables,
sans qu'il soit besoin de supposer la commutativité de
l'algèbre .
Remarque: Ici nous avons choisi un module (un ingredient
nécessaire pour consruire n'importe quelle théorie de jauge)
égal à l'algèbre elle-même. Plus généralement, nous
aurions pu choisir un module libre 
, ou même, un
module projectif 
sur .
Dans ce dernier cas, le formalisme précédent doit être
légérement modifié. En effet, le projecteur p va intervenir dans
le calcul de la courbure (c'est un peu comme si nous faisions de la
géométrie différentielle classique de façon extrinsèque,
en plongeant notre espace dans un espace ``plus grand''). Comme
toujours, la courbure est 
. La
différentielle covariante est
où
est un élément de tel que 
. En effet, si 
, 
et il est facile de
vérifier que cela définit bien une connexion : prenons 
, alors
Nous avons utilisé le fait que 
.
La courbure 
se calcule alors comme suit:
Nous avons utilisé les propriétés 
, dX=d(pX)=(dp)X+pdX
ainsi que 
, ce qui entraine
pdpdX=pdpdpX+p(dp)pX=pdpdpX. En conclusion, la courbure, dans le cas
où le projecteur ne se réduit pas à l'identité est égale à
Il faut remarquer le fait que la courbure s'obtient à partir de
(ce qui en fait bien un opérateur linéaire par
rapport aux éléments de ) et non pas en recopiant servilement
formule classique 
, ce qui serait faux!