Soit
une (n+1)-forme linéaire
sur l'algèbre
. Alors
Par exemple,
L'étape suivante consiste à montrer que
ce qui est à la
fois immédiat, et pénible
Puisque nous avons un opérateur cobord (il est de carré nul et envoie bien les n formes dans
les n+1 formes), nous pouvons définir l'espace des cocycles de
Hochschild
l'espace des
cobords de
Hochschild
et les groupes de cohomologie (de Hochschild) correspondants
Ci-dessus, la notation
, l'espace des cochaines de
Hochschild, désigne l'espace des formes
n+1 multilinéaires sur
(attention à la translation
d'une unité).
Remarque terminologique : un lecteur curieux, qui chercherait la définition
de la cohomologie de Hochschild dans un ouvrage d'algèbre
homologique pourrait être surpris car celle-ci fait
d'ordinaire référence au choix d'un certain bimodule. Ici, le bimodule
en question n'est autre que le
dual de
. Nous n'avions pas besoin de mentionner ceci plus
haut mais il est bon de savoir que c'est précisemment ce choix
particulier de bimodule (ainsi que l'existence d'un accouplement naturel entre
et son dual
) qui est à l'origine de la définition précédente de b.
Des courants de De Rham aux cocycles de Hochschild : étant
donné C , nous construisons
on peut alors vérifier que
Des cocycles de Hochschild aux courants de De Rham : étant donné
nous construisons
Les deux formules ci-dessus sont différentes car il n'y a aucune
raison de supposer qu'un cocycle de Hochschild donné
qui soit antisymétrique.
Si
est un cobord de Hochschild, il reste à vérifier que le
courant de De Rham correspondant s'annule. Ceci est une conséquence
immédiate de la définition de b et de l'antisymmétrie du produit
extérieur.
De façon générale, le p-ième groupe de cohomologie de Hochschild coïncide
avec l'espace des courants de De Rham en degré p .
On peut en particulier vérifier que la dimensionalité de l'espace
est triviale dès que p est plus grand que la dimension de la
variété X elle - même.
Cette remarque peut être généralisée, en ce sens qu'on peut
être tenté de considérer les p formes sur
comme des
formes linéaires sur l'algèbre
et de
définir b non pas sur les formes p-linéaires sur
mais sur les formes linéaires sur
. En fait, on
se heurte alors à un problème un peu subtil lié au rôle
particulier joué par l'unité dans la construction de l'algèbre
des formes universelles.
Notons
l'algèbre obtenue en rajoutant une
unité
à
, que celle-ci en possède déjà une ou non. Les éléments de cette
augmentation sont, par définition, des paire (a,c), avec
et
. La nouvelle unité est
.
On identifie
avec
. Les éléments (a,c) de l'algèbre augmentée sont notés
simplement
. La multiplication est telle que
; elle doit donc être formellement définie par
Si
ne posséde pas d'unité, il n'y a pas de confusion possible. Si
en
posséde déjà une, nous la désignons par
et il est certain que
e n'est plus l'unité de
, mais seulement un
projecteur (
).
Notons que, avec
et
,
dans
.
On peut donc identifier identifier les formes multilinéaires sur
avec certaines formes linéaires sur
, en
l'occurence avec les formes
qui sont telles que
en
posant, pour
Grâce à cette identification, on peut effectuer toutes les
constructions de nature cohomologique en utilisant comme cochaines ce type
particulier de formes linéaires sur
plutôt
que de faire appel à des formes multilinéaires sur
.
Nous n'irons cependant pas plus loin dans cette direction.