La cohomologie de Hochschild

 

• Nous savons que la différentielle sur est presque triviale, du point de vue cohomologique. Le ``presque'' vient du fait que et on rappelle qu'il est nécessaire de supposer que possède une unité pour construire (on verra un peu plus loin comment faire si ce n'est pas le cas). Il est donc raisonable de chercher à définir une autre théorie cohomologique ou homologique qui se restreigne, dans le cas classique, à celle déjà connue (celle de De Rham). En fait, nous allons voir que ceci se fait en deux temps : on définit tout d'abord la cohomologie de Hochschild, puis la cohomologie cyclique,   et c'est cette dernière qui va nous fournir un analogue non commutatif de la cohomologie de De Rham.
• Nous avons déjà mentionné le fait que, dans le cas classique (le cas de la géométrie ``commutative'' usuelle où ), l'algèbre des formes universelles était ``bien plus grande'' que celle des formes différentielles usuelles . Nous allons voir que, dans le cas classique, il existe une façon purement (co)homologique de récupérer l'algèbre des formes différentielles usuelles, ou plutôt, en travaillant de façon duale, l'espace des courants de De Rham. Le but de cette section est donc d'ébaucher une construction qui conduise aux courants de De Rham dans le cas usuel, mais qui soit, bien entendu, valable pour une algèbre associative quelconque.
• On définit l'opérateur co-bord de Hochschild b (aussi appelé différentielle de Hochschild) comme suit  :

  Soit une (n+1)-forme linéaire sur l'algèbre . Alors

  

  Par exemple,

  

  L'étape suivante consiste à montrer que ce qui est à la fois immédiat, et pénible

  Puisque nous avons un opérateur cobord (il est de carré nul et envoie bien les n formes dans les n+1 formes), nous pouvons définir l'espace des cocycles de Hochschild l'espace des cobords de Hochschild et les groupes de cohomologie (de Hochschild) correspondants Ci-dessus, la notation , l'espace des cochaines de Hochschild, désigne l'espace des formes n+1 multilinéaires sur (attention à la translation d'une unité).

  Remarque terminologique : un lecteur curieux, qui chercherait la définition de la cohomologie de Hochschild dans un ouvrage d'algèbre homologique pourrait être surpris car celle-ci fait d'ordinaire référence au choix d'un certain bimodule. Ici, le bimodule en question n'est autre que le dual de . Nous n'avions pas besoin de mentionner ceci plus haut mais il est bon de savoir que c'est précisemment ce choix particulier de bimodule (ainsi que l'existence d'un accouplement naturel entre et son dual ) qui est à l'origine de la définition précédente de b.

• Dans le cas classique (celui de la géométrie différentielle ``commutative'' habituelle), nous savons que les courants de De Rham (voir 1.10.5) sont définis comme distributions sur les formes différentielles de De Rham. En d'autres termes, si C is un p -courant et est une p -forme, alors est un nombre. Nous allons montrer qu'il existe une correspondance entre courants arbitraires et cocycles de Hochschild, dans le cas particulier des 2-formes, en laissant au lecteur le soin de généraliser cette propriété au cas p>2.

  Des courants de De Rham aux cocycles de Hochschild : étant donné C , nous construisons on peut alors vérifier que

  Des cocycles de Hochschild aux courants de De Rham : étant donné nous construisons

  Les deux formules ci-dessus sont différentes car il n'y a aucune raison de supposer qu'un cocycle de Hochschild donné qui soit antisymétrique.

  Si est un cobord de Hochschild, il reste à vérifier que le courant de De Rham correspondant s'annule. Ceci est une conséquence immédiate de la définition de b et de l'antisymmétrie du produit extérieur.

  De façon générale, le p-ième groupe de cohomologie de Hochschild coïncide avec l'espace des courants de De Rham en degré p . On peut en particulier vérifier que la dimensionalité de l'espace est triviale dès que p est plus grand que la dimension de la variété X elle - même.

• Il peut être intéressant de comparer l'expression de avec le calcul de effectué dans la section consacrée à la définition de (6.2.2). On voit que le fait de calculer revient, dans cet exemple qui à calculer évaluer sur un type particulier de commutateurs (dans ), en l'occurence

  Cette remarque peut être généralisée, en ce sens qu'on peut être tenté de considérer les p formes sur comme des formes linéaires sur l'algèbre et de définir b non pas sur les formes p-linéaires sur mais sur les formes linéaires sur . En fait, on se heurte alors à un problème un peu subtil lié au rôle particulier joué par l'unité dans la construction de l'algèbre des formes universelles.

  Notons l'algèbre obtenue en rajoutant une unité à , que celle-ci en possède déjà une ou non. Les éléments de cette augmentation sont, par définition, des paire (a,c), avec et . La nouvelle unité est . On identifie avec . Les éléments (a,c) de l'algèbre augmentée sont notés simplement . La multiplication est telle que ; elle doit donc être formellement définie par

  

  Si ne posséde pas d'unité, il n'y a pas de confusion possible. Si en posséde déjà une, nous la désignons par et il est certain que e n'est plus l'unité de , mais seulement un projecteur ( ). Notons que, avec et , dans . On peut donc identifier identifier les formes multilinéaires sur avec certaines formes linéaires sur , en l'occurence avec les formes qui sont telles que en posant, pour

  

  Grâce à cette identification, on peut effectuer toutes les constructions de nature cohomologique en utilisant comme cochaines ce type particulier de formes linéaires sur plutôt que de faire appel à des formes multilinéaires sur . Nous n'irons cependant pas plus loin dans cette direction.