des fonctions et non pas les points de X
eux-mêmes),
c'est d'un analogue de l'opérateur d'homologie 
sur les courants dont nous avons besoin.
Rappelons que, classiquement, cet opérateur agit sur les courants de De
Rham de la façon suivante (théorème de Stokes):
Ici 
est une forme différentielle quelconque sur X.
On fait alors la remarque suivante [2] :
Si 
est cyclique, alors 
l'est aussi.
Il devient alors naturel de considérer le sous complexe cyclique du
complexe de Hochschild, c'est à dire de restreindre l'opérateur b
(le même que précédemment) aux cochaines de Hochschild cycliques.
On définit alors les espaces 
des
cocycles et cobords cycliques, ainsi que leurs quotients, les groupes
de cohomologie cyclique 
on montre [2]
que 
où
est le noyau de l'opérateur
agissant dans l'espace des courants de De Rham de degré k et où 
désigne le groupe d' homologie
de degré p (pour les courants).
Ainsi, nous n'obtenons pas une correspondance bi-univoque entre les groupes de cohomologie cyclique et les groupes d'homologie de De Rham; néanmoins, l'information contenue est la même, puisque, en choisissant k assez grand, les groupes de cohomologie cycliques pairs ou impairs seront respectivement égaux à la somme directe des groupes d'homologie de De Rham (pairs ou impairs).
Ce résultat suggère qu'il existe une façon canonique d'envoyer
dans 
et c'est effectivement le
cas (pour une algèbre 
quelconque, d'ailleurs).
En fait, on peut démontrer un résultat encore plus fort: pour toute
algèbre, on peut définir un opérateur S , souvent désigné sous
le nom de ``opérateur de périodicité de Connes'', qui envoie 
dans
- le symbole 
se réferrant aux
cochaines cycliques.
. Cela dit,
un tel opérateur existe (il est noté 
, ou B -- voir
ci-dessous --) et on peut aussi définir la cohomologie cyclique
grâce à lui. La définition de cette cohomologie, en utilisant
les opérateurs en question, est un peu plus subtile, et nous nous
contenterons de donner la définition des opérateurs et
B.
Le lecteur interessé pourra consulter [2], [3] et les
références indiquées dans cet ouvrage.
Outre l'opérateur de périodicité déjà mentionné, 
, on considère aussi les
opérateurs suivants :
défini comme
Ici, e désigne l'unité de l'algèbre (et il faut
effectivement supposer que l'algèbre est unitale).
(ou
différentielle de Connes).
On montre alors que B envoie 
sur 
, que
et que bB+Bb=0. En utilisant ces deux dernières
propriétés, ainsi que 
, on peut construire un bi-complexe
(puisque b and B agissent dans des directions opposées)
à partir duquel on peut également définir la cohomologie cyclique.
En utilisant ce dernier bi-complexe on définit aussi la ``cohomologie
cyclique entière'' de la façon suivante. Les cocycles entiers sont des
suites 
ou 
de fonctionelles paires ou impaires
qui doivent satisfaire à la contrainte suivante (nous ne l'écrivons
que pour le cas impair) :
A l'aide de tels cocycles (techniquement, il
faut aussi supposer qu'une certaine condition de croissance est
satisfaite), on peut définir des fonctions entières sur l'algèbre ,
La cohomologie cyclique entière fournit un formalisme approprié pour l'étude de certaines algèbres non commutatives de dimension infinie apparaissant en théorie quantique des champs.