Notons que le produit de deux vecteurs n'est pas un
vecteur (produit défini par composition de l'action des
vecteurs sur les fonctions) mais un opérateur
différentiel d'ordre 2. En effet, soient 
et 
deux champs de vecteurs
(attention les 
est les 
n'ont aucune
raison d'être constants dans la carte choisie). Alors,
Par contre, le commutateur (notation crochet) de deux
champs de vecteurs, défini par
est un champ de vecteurs. Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que c'est bien un opérateur différentiel d'ordre un. Le petit calcul précédent montre immédiatement que les dérivées secondes disparaissent lorsqu'on calcule la différence et qu'il reste
La définition précédente du crochet [v,w] = v w - w v de deux champs de vecteurs implique de façon immédiate les deux propriétés suivantes:
Antisymétrie
Identité de Jacobi
Une algèbre (évidemment non associative) où les éléments vérifient ces deux identités est appelée une algèbre de Lie. Notons qu'une algèbre de Lie est, en particulier, un espace vectoriel. Nous pouvons donc conclure ce paragraphe en disant ``l'ensemble des champs de vecteurs est une algèbre de Lie (de dimension infinie)''.